Аристотель, Лейбниц, Буль
Математическая логика тесно связана с
логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики, науки о законах и
формах человеческого мышления (отсюда одно из ее названий — формальная логика),
были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384—322
гг. до н. э.), который в своих трактатах обстоятельно исследовал терминологию
логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд
логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы
противоречия и исключения третьего [1—5]. Вклад Аристотеля в логику весьма велик,
недаром другое ее название — аристотелева логика.
Еще сам Аристотель заметил, что между созданной им
наукой и математикой (тогда она именовалась арифметикой) много общего. Он
пытался соединить две эти науки, а именно свести размышление, или, вернее,
умозаключение, к вычислению на основании исходных положений. В одном из своих
трактатов Аристотель вплотную приблизился к одному из разделов математической
логики — теории доказательств.
В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные
положения логики и иногда даже намечали контуры современного исчисления
высказываний, но ближе всех к созданию математической логики подошел уже во
второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм
Лейбниц (1646— 1716), указавший пути для перевода логики “из словесного
царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между
объектами или высказываниями определяются совершенно точно” [6]. Лейбниц
надеялся даже, что в будущем философы, вместо того чтобы бесплодно спорить,
станут брать бумагу и вычислять, кто из них прав [1]. При этом в своих работах
Лейбниц затрагивал и двоичную систему счисления.
Следует отметить, что идея использования двух символов для
кодирования информации очень стара. Австралийские аборигены считали двойками,
некоторые племена охотников-сборщиков Новой Гвинеи и Южной Америки тоже
пользовались двоичной системой счета. В некоторых африканских племенах передают
сообщения с помощью барабанов в виде комбинаций звонких и глухих ударов.
Знакомый всем пример двухсимвольного кодирования — азбука Морзе, где буквы
алфавита представлены определенными сочетаниями точек и тире.
После Лейбница исследования в этой области вели многие
выдающиеся ученые, однако настоящий успех пришел здесь к английскому
математику-самоучке Джорджу Булю (1815—1864), целеустремленность которого
не знала границ.
Материальное положение родителей Джорджа (отец которого был
сапожным мастером) позволило ему окончить лишь начальную школу для бедняков.
Спустя какое-то время Буль, сменив несколько профессий, открыл маленькую школу,
где сам преподавал [2]. Он много времени уделял самообразованию и вскоре увлекся
идеями символической логики. В 1847 году Буль опубликовал статью “Математический
анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений”, а в 1854 году
появился главный его труд “Исследование законов мышления, на которых основаны
математические теории логики и вероятностей”.
Буль изобрел своеобразную алгебру — систему обозначений и
правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений.
Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения,
истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего
языка, а затем манипулировать ими, подобно тому, как в математике манипулируют
числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И),
дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ).
Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо
подходит для описания электрических переключательных схем. Ток в цепи может либо
протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо
истинным, либо ложным. А еще несколько десятилетий спустя, уже в XX столетии,
ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной
системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового
электронного компьютера.
Отдельные положения работ Буля в той или иной мере
затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками [1, 2]. Однако
сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической
классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем
более важнейших ее разделов — алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры
высказываний.
Литература
1. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение
в математическую логику. М.: Издательство Московского университета, 1982.
2. Соколов Е.А. Интегральные схемы логических операций
// Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Вычислительная техника и ее применение”.
Аппаратный состав ЭВМ, № 5/88.
3. Дж. Кемени, Дж. Снелл, Дж. Томпсон. Введение в
конечную математику: Пер. с англ. М.: Мир, 1963.
4. 1 + 1 = ? // Информати- ка, № 3/2000.
5. Создатель формальной логики // Информатика, № 41/2000.
6. Знакомьтесь: компьютер: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.