Революционер

    “То, что Кантор своей теорией множеств произвел революцию в математике, общеизвестно” [1].

    “Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математических понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве людей, живущих на нашей планете в данный момент времени, о множестве точек данной геометрической фигуры, о множестве решений данного дифференциального уравнения. Люди, живущие на нашей планете в данный момент времени, точки данной геометрической фигуры, решения данного дифференциального уравнения являются элементами соответствующих множеств” [2].
    “В современной математике понятие множества считается одним из основных, с него начинается изложение традиционных математических дисциплин и построение новых математических теорий” [3].
    Кстати, раздел теории множеств, где исследуются операции над множествами, называется алгеброй множеств, а алгебра множеств, в свою очередь, является частным случаем теории булевых алгебр.
    Теория множеств была создана в основном трудами математиков XIX века. Уже первые работы в этой области [например, Бернгарда Больцано (1781—1848), Рихарда Дедекинда (1831—1916)], где рассматривались числовые множества или множества функций, затрагивали вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств. Является ли бесконечность множества чисто отрицательным свойством, не допускающим расчленения, или же существуют различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества различной количественной силы, различной “мощности”? Ответ на данный вопрос дал немецкий математик, уроженец Петербурга Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845—1918) [2, 4]. “Даже если только перечислить все те понятия, которые Кантор ввел в математику, то и тогда будет сразу ясно, как много он сделал для развития проблемы бесконечности, так как все введенные им понятия относятся именно к бесконечности. Но Кантор не просто ввел отдельные новые понятия, а связал их единой теорией множеств, которая и положила начало новой эпохе в развитии математики...
    Большой заслугой Кантора является введение понятия мощности, аналогичного понятиям число и количество в конечных множествах...
    Введение понятия мощности дало возможность сравнивать различные бесконечности” [1].
    Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно-однозначного соответствия (или биекции) между двумя множествами [5, 6]. Пусть каждому элементу множества A соответствует в силу какого-либо правила или закона некоторый определенный элемент множества B. Если при этом каждый элемент множества B оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества A, то говорят, что между множествами A и B установлено взаимно-однозначное соответствие (или биективное отображение, или биекция). Между двумя конечными множествами можно установить биекцию тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же количества элементов. Обобщая данный факт, Кантор определил количественную эквивалентность, или равномощность, как возможность установить между множествами взаимно-однозначное соответствие. Ценность понятия мощности множества связана с существованием неравномощных бесконечных множеств. Например, множество всех действительных чисел и множество всех натуральных чисел имеют разные мощности. Первое имеет мощность так называемого континуума [2], а второе является счетным множеством, то есть таким бесконечным множеством, которое можно привести во взаимнооднозначное соответствие с натуральным рядом чисел [7].
    Заслуга Кантора состоит не только в решении проблемы мощности множества: он сделал также решительный шаг, рассмотрев множества, состоящие из элементов произвольной природы.
    Эти и некоторые другие идеи Кантора встретили сопротивление со стороны многих ученых [1, 4, 8, 9], но впоследствии оказали большое влияние на развитие математики. “Отношение к теории множеств Кантора было разноречивым с самого начала. Весьма влиятельной была идея о неприемлемости бесконечности из-за ее парадоксов, а вместе с ней — о неприемлемости самой теории множеств...
    Но многими математиками теория множеств была принята восторженно, и они стали излагать целые отрасли математики на ее основе” [1].

    Литература
   1. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М.: Наука, 1976.
    2. Ефимов Б.А. Множеств теория // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1982. Т. 3.
    3. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. М.: АО “Столетие”, 1995.
    4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с нем. Изд. 4-е. М.: Наука, 1984.
    5. Иванова О.А. Биекция // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 1.
    6. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы. Изд. 2-е. М.: Изд-во МПИ, 1987.
    7. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. Изд. 3-е. М.: Энергоатомиздат, 1987.
    8. Кантор // Большая советская энциклопедия. Изд. 2-е. М.: Гл. науч. изд-во “Большая советская энциклопедия”, 1953. Т. 20.
    9. Плодотворные идеи немецкого математика // Информатика, № 47/ 2000.