Цифровые корни

Запишите номер вашего телефона. Из входящих в него цифр, переставленных в любом порядке, образуйте новое число и вычтите из большего числа меньшее. Сложите все цифры ответа. Среди волшебных знаков (см. рисунок ниже) найдите звездочку и поставьте на нее палец. Начиная со звездочки (она соответствует числу 1), обходите по часовой стрелке волшебные знаки, прибавляя при каждом шаге по 1 (так, треугольник будет соответствовать 2, три зигзагообразные линии — 3 и т.д.) до тех пор, пока вы не досчитаете до полученной суммы. Ваш счет всегда будет заканчиваться на спирали.

Нетрудно понять, на чем основан этот нехитрый фокус. Он может служить отличным введением в понятие сравнения двух чисел, сформулированное Гауссом. Если два числа при делении на любое заданное число k дают одинаковые остатки, то про такие числа говорят, что они сравнимы по модулю k, а само число k называют модулем сравнения. Например, 16 и 23 при делении на 7 дают остаток 2, следовательно, эти числа сравнимы по модулю 7.

Так как 9 — наибольшая из цифр в десятичной системе счисления, сумма цифр любого числа всегда сравнима по модулю 9 с самим числом. Цифры, которыми записана сумма цифр исходного числа, в свою очередь, можно сложить и получить новое, третье число, сравнимое с двумя первыми, и т.д. Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим однозначное число — сам остаток. Например, 4157 при делении на 9 дает остаток 8. Сумма цифр числа 4157 равна 17 и тоже дает при делении
на 9 остаток 8. Сумма цифр числа 17 равна 8. Последнее однозначное число, равное самому остатку, назовем цифровым корнем исходного числа. Оно совпадает с остатком от деления исходного числа на 9, если только этот остаток отличен от 0. Для чисел, сравнимых с 0 по модулю 9, цифровой корень равен не 0, а 9.

Посмотрим, какое отношение имеет все сказанное к фокусу с телефонным номером. Перестановка цифр номера не меняет его цифрового корня, поэтому, вычитая из большего числа меньшее, берем разность двух чисел с одинаковыми цифровыми корнями. Такая разность делится на 9 без остатка. Чтобы понять, почему это происходит, представим большее число как некоторое кратное девяти, к которому прибавлен цифровой корень (остаток при делении числа на 9). Меньшее число состоит из меньшего кратного 9, к которому прибавлен тот же самый цифровой корень. При вычитании из большего числа меньшего одинаковые цифровые корни взаимно уничтожаются и остается число, кратное 9:

Поскольку ответ кратен 9, его цифровой корень равен 9. Сумма цифр полученной разности меньше самой разности, а ее цифровой корень также равен 9, поэтому окончательный ответ заведомо кратен 9. На нашей схеме имеется всего 9 волшебных знаков. Начав счет с первого, мы всегда должны окончить его на последнем, девятом знаке.

Цифровые корни часто позволяют быстро и просто решать задачи, которые при ином подходе кажутся необычайно трудными. Например, такая задача:

“Найти наименьшее из чисел, запись которых состоит из одних лишь нулей и единиц, делящееся без остатка на 225”.

Решите, пожалуйста, ее.

Рекомендации по выполнению. Цифровой корень числа 225 равен 9, поэтому вы сразу же знаете, что искомое число должно иметь цифровой корень, равный 9. Учтите также, что, поскольку число 225 делится на 25, искомое число также должно быть кратно 25.

Понятие цифрового корня позволяет проанализировать и многие математические игры, например, следующую игру в кости. Играют вдвоем. Прежде всего задумывают какое-нибудь число (чтобы игра была интересной, обычно берут число, большее 20). Первый игрок бросает кость. Число очков, выпавшее на верхней грани, запоминают, после чего второй игрок поворачивает кость одной из боковых граней вверх и прибавляет значащееся на ней число к уже набранным очкам. Игроки продолжают переворачивать кость и добавлять число, оказывающееся на верхней грани, к текущему счету до тех пор, пока кто-нибудь из них либо дойдет до задуманного числа, либо заставит своего противника превысить его. Анализ игры затрудняется тем, что числа на боковых гранях зависят от положения кости и изменяются, когда кость переворачивают. Можно ли указать оптимальную стратегию, которой следует придерживаться в игре?

Ключом к оптимальной стратегии служат числа, имеющие те же цифровые корни, что и задуманное число. Если вы сможете так изменить счет игры, чтобы он совпал с одним из таких чисел, или сумеете постоянно препятствовать аналогичному намерению своего противника, то вас непременно ожидает выигрыш. Поясним сказанное на примере. Предположим, что противники условились вести игру до 31 очка. Цифровой корень числа 31 равен 4. Единственный способ выиграть для первого игрока заключается в том, чтобы при бросании кости получить на верхней грани 4 очка, а при последующих ходах стараться либо довести счет до одного из чисел 13, 22 и 31, либо помешать противнику сделать то же самое. Вторая задача несколько труднее, и мы не будем останавливаться на ней подробно.

Если не считать случая, когда цифровой корень задуманного числа равен 9, всегда существует одно или несколько положений игральной кости, при которых выигрыш первого игрока обеспечен. Если же задуманное число кратно 9 (и, следовательно, его цифровой корень равен 9), то победы всегда может добиться второй игрок.

Программа, моделирующая описанную игру, приведена в этом номере в рубрике “Games.exe”.

Многие из карточных фокусов, для показа которых не требуется особой ловкости рук, зависят от свойств цифровых корней. Лучшим из них считается фокус “Предсказание будущего” (автор — Стюарт Джеймс), описанный в [1]. Джеймс известен как блестящий мастер по придумыванию карточных фокусов, основанных на тонких математических идеях.

Из тщательно перетасованной колоды вы выбираете девять карт — от туза до девятки — и располагаете их по порядку так, чтобы туз оказался сверху. Показав карты зрителям, вы заявите, что сейчас разделите отобранные девять карт так, что никто не сможет c уверенностью сказать, где находится та или иная карта. Держа девять карт вверх рубашкой, вы делаете вид, что наугад разбиваете их на две части, а на самом деле перекладываете наверх три нижние карты, после чего ваши девять карт расположатся так (мы называем карты по порядку, сверху вниз; 1 соответствует тузу): 7–8–9–1–2–3–4–5–6.

Медленно снимая по одной карте из тех девяти, что вы держите в руках (каждый раз вы берете верхнюю карту), вы кладете их поверх большой колоды, лежащей перед вами на столе. При этом каждый раз, сняв очередную карту, вы спрашиваете зрителя, не желает ли он ее выбрать (зритель должен выбрать по своему усмотрению одну из девяти карт). Когда зритель укажет выбранную им карту, вы оставляете ее сверху тех карт, которые еще не успели выложить на стол, и откладываете их в сторону.

Попросите теперь зрителя снять верхнюю часть большой колоды. Подсчитав число карт в снятой и оставшейся частях колоды, найдите цифровые корни полученных вами чисел. Сложите оба цифровых корня и, если результат окажется больше 9, замените их сумму ее цифровым корнем. Откройте теперь выбранную зрителем карту (самую верхнюю из отложенных вами карт). Ее значение в
точности совпадает с полученным вами результатом и позволяет предсказывать его заранее!

Объясняется фокус очень просто. После того как вы отобрали девять карт, расположили их по порядку и переложили три нижние карты наверх, самой верхней из девяти карт будет семерка. В колоде останутся 43 карты. Цифровой корень числа 43 равен 7. Если зритель не выберет семерку, вы возвращаете ее в колоду, увеличивая тем самым число карт в ней до 44. После этого верхней картой у вас в руках становится 8, и цифровой корень числа 44 также равен 8. Иначе говоря, какую бы карту зритель ни выбрал, ее значение всегда совпадает с цифровым корнем числа карт в колоде. Разбиение колоды на две части, подсчет числа карт в каждой из них и другие описанные выше действия, разумеется, приводят к числу, совпадающему с цифровым корнем числа всех карт в колоде.

В начале статьи было сказано, что поскольку основанием нашей системы счисления служит число 10, то цифровой корень любого числа совпадает с остатком при делении этого числа на 9. Это утверждение нетрудно доказать. Некоторых читателей, может быть, заинтересует неформальный набросок этого доказательства. Рассмотрим какое-нибудь четырехзначное число, например, 4135. Его можно записать в виде суммы степеней числа 10:

4 • 1000 + 1 • 100 + 3 • 10 + 5 • 1.

Вычитая по 1 из каждой степени 10, то же число можно представить и в виде:

4 • 999 + 1 • 99 + 3 • 9 + 5 • 0 + 4 + 1 + 3 + 5.

Все произведения в приведенном выражении кратны 9. Отбросив их, мы получаем сумму цифр исходного числа: 4 + 1 + 3 + 5.

В общем случае четырехзначное число abсd представимо в виде:

а • 999 + b • 99 + c • 9 + d • 0 + а + b + c + d,

и поэтому после вычеркивания чисел, кратных 9, должна оставаться сумма a + b + c + d. Разумеется, эта сумма не обязательно должна выражаться однозначным числом, но, записав ее так же, как исходное число, и вычеркнув все кратные 9, мы всегда можем найти ее остаток при делении на 9, и т.д. до тех пор, пока не получим однозначное число — цифровой корень. Сказанное справедливо для любого числа, как бы велико оно ни было. Поэтому цифровой корень — это число, которое остается после того, как из исходного числа вычесть максимальное число девяток, то есть после деления исходного числа на 9. Поскольку определение остатка от деления на 9 многозначных чисел — задача непростая, можно для таких чисел предварительно найти сумму цифр заданного числа, а затем определить остаток от деления на 9 этой суммы.

Только что описанный метод “вычеркивания девяток” (для вычисления цифрового корня) широко использовался для проверки правильности произведенных выкладок еще в те времена, когда электронных вычислительных машин не было и в помине (подробнее о проверке правильности сложения и умножения см. статьи с аналогичным названием в этом выпуске). В некоторых ЭВМ этот прием использовался как один из методов автоматической проверки точности вычислений. Он основан на довольно простом факте: какие бы действия мы ни производили над числами в процессе решения задачи (складывали их, вычитали, умножали и даже делили друг на друга), ответ всегда будет сравним по модулю с числом, получающимся при сложении, вычитании, умножении, делении цифровых корней этих же чисел.

Еще один пример применения цифровых корней приведен в [2].

Задание для самостоятельной работы

Используя электронную таблицу Microsoft Excеl или разработав компьютерную программу, определите, какие значения могут принимать цифровые корни

1) квадратов натуральных чисел;

2) кубов натуральных чисел.

Ответы присылайте в редакцию (можно и в будущем учебном году).

Литература

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1999.

2. Трофимов Г.В. Задачи о порожденных и самопорожденных числах. / “В мир информатики” № 86 (“Информатика” № 4/2007).