Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Информатика»Содержание №15/2008


Предлагаю коллегам

Использование LATEX при генерации дидактических материалов по математике

От редакции. Эта статья идейно продолжает № 12, в котором был дан краткий обзор средств набора и верстки математических текстов. В определенном смысле предлагаемый материал отвечает на вопрос “Ну и зачем нам все это нужно?”. Рассмотренные ниже дидактические материалы давно и успешно используются в школах г. Перми, а работа по их созданию является хорошим примером реального межпредметного взаимодействия учителей информатики и математики.

При преподавании математики в школе (колледже, вузе) часто приходится сталкиваться с отсутствием достаточного количества раздаточных дидактических материалов одинакового уровня сложности на печатной основе для проведения занятий (хотя в настоящее время и издаются разнообразные дидактические материалы). В частности, при проведении контрольных работ обычно используются два–четыре варианта заданий. Можно разрабатывать собственные варианты заданий, набирать их на компьютере и распечатывать (или ксерокопировать существующие варианты контрольных работ из разных источников, но в этом случае не гарантирована их равноценность по уровню сложности и распределению по учебным темам). Отметим, что занятие это рутинное, абсолютно не творческое и скучное — изобретать 20–25 однотипных вариантов с разным содержанием.

Поэтому возникла идея приспособить для автоматического создания дидактических материалов возможности современных ИКТ. Компьютер для этих целей идеально подходит, поскольку позволяет автоматизировать не только распечатку текста, но и сам процесс его разработки. Действительно, достаточно запрограммировать образец для одного задания, и согласно ему будет получено любое количество заданий.

Возможен подход, позволяющий получать необходимый материал в готовом виде. Это можно сделать с помощью системы форматирования текстов LaTeX, позволяющей форматировать тексты, содержащие математические формулы любой сложности. При этом исходный, сгенерированный программой текст лишь описывает элементы форматирования, в готовом виде результат получается после обработки его соответствующим интерпретатором. Обычно в основу самостоятельной или контрольной работы закладываются уже существующие дидактические материалы к тому или иному школьному учебнику математики, и по этому образу и подобию готовится работа, где данные в каждом из вариантов различные. Таким образом, складывается иллюзия наличия такого же количества вариантов, сколько учеников в классе.

Наличие отдельного напечатанного варианта для каждого учащегося при проведении контрольной или самостоятельной работы имеет ряд преимуществ перед отсутствием такового:

1) решается проблема “списывания” — каждый учащийся вынужден обрабатывать свои данные (правда, при этом можно в качестве образца для решения использовать работу соседа, но это было и при традиционном проведении контрольной работы);

2) нет необходимости перед началом урока втискивать текст контрольной работы на доску;

3) ни для кого не является секретом, что зрение большинства учащихся в настоящее время ослаблено, и им приходится подходить к доске или переспрашивать учителя для уточнения текста задания, при указанном подходе проблема снимается.

Можно найти и другие достоинства. Есть и свои недостатки — учителю затем нужно проверить не 2 варианта, а 25–30. Не всякий при нынешней загруженности на это решится. Но при желании число существенно разных вариантов можно сократить до 5–10.

Продемонстрируем на нескольких примерах технологию подготовки текста контрольных и самостоятельных работ в формате LaTeX.

Пример 1. Алгебраическое выражение.

Одно из наиболее часто встречающихся в 5–7-х классах заданий — вычисление значения выражения. Генерируя такие выражения, нужно учитывать такие обстоятельства, как:

1) соответствие изучаемой теме и возрасту учащихся (например, в 5-м классе значение выражения не должно быть равно отрицательному числу);

2) после выполнения очередного действия полученное значение должно получиться проще и приемлемым для выполнения следующего действия, где это значение используется (т.е. некоторые величины в выражении будут случайными, другие — вычисляемыми);

3) при записи десятичной дроби в школьной математике используется десятичная запятая, а при записи на компьютере — десятичная точка;

4) если в записи выражения используются десятичные дроби, то они должны быть несократимыми и правильными.

Учитывая приведенные выше соображения, покажем на примере следующего числового выражения получение его аналогов:

Проанализируем данное выражение. Его значение равно 2,32 и получается как разность двух произведений. Таким образом, значение выражения — произвольное рациональное число, модуль которого не больше 10. Значение первого и второго произведений — десятичные дроби, это соответственно 2,62 и 0,3. При генерации произведений будем ориентироваться также на десятичные значения. В первом произведении первый сомножитель — сумма обыкновенных дробей с разными знаменателями, НОД которых отличен от 1, а второй сомножитель — число, которое можно сократить с общим знаменателем первого сомножителя. Второе произведение — произведение обыкновенной и десятичной дроби, которые нужно подобрать так, чтобы результат был точной десятичной дробью.

Приступим к генерации выражения. Пусть A = НОД(B, C), где B, C — знаменатели дробей суммы. Тогда B = A * B1, C = A * C1, где B1, C1 — случайные числа. D, F — числители рассматриваемых дробей, причем D < B, F < C. Целую часть первого слагаемого можно сгенерировать случайным образом. Второй сомножитель в первом произведении получаем так: K = НОК(B, C) * R / 100, 1 < R < 10 — случайное число.

Аналогично получаем второй сомножитель. Не нужно забывать о том, что значение выражения по абсолютной величине не должно превышать 10.

Таким образом, выражение может быть получено с помощью следующего фрагмента программы:

B1 := 1 + Random(9);

C1 := 1 + Random(9);

A := 2 + Random(4); {НОД знаменателей дробей суммы}

B := A * B1; {Знаменатель первой дроби}

C := A * C1; {Знаменатель второй дроби}

D := 1 + Random(B — 2); {Числитель первой дроби}

F := 1 + Random(C — 2); {Числитель второй дроби}

K := Nod(D, B); {НОД чисел D, B}

D := D Div K; {Сокращение первой дроби}

B := B Div K;

K := Nod(F, C); {НОД чисел F, C}

F := F Div K; {Сокращение второй дроби}

C := C Div K;

K := B * C Div Nod(B, C) * (1 + Random(7)); {Второй сомножитель в первом произведении}

Repeat

Repeat

M := 3 + Random(6); {Одно из чисел, на которое будет производиться сокращение

во втором произведении}

Ch1 := M * (1 + Random(3)) {Числитель второй дроби}

Until Odd(M) and Odd(Ch1);

Zn := M * 5; {Знаменатель первого сомножителя во втором произведении}

SS := 2 + Random(4);

Zn1 := Stepen(2, SS); {Знаменатель второго сомножителя -

случайная степень числа 2}

Ch := Zn1 Div 2; {Числитель первой дроби}

Until (Ch < Zn) And (Ch1 < Zn1); {Повторяем генерацию дробей, пока числители не станут

меньше знаменателей}

S := Nod(Ch, Zn);

Ch := Ch Div S; {Сокращение дроби}

Zn := Zn Div S;

Ch1 := Ch1 * Stepen(10, SS); {Подготовка числителя второй дроби к целочисленному делению}

{Печать результата генерации в файл Name}

WriteLn(Ch1, ' ', Zn1);

Write(Name, '$$\left(', 1 + Random(3), '\frac{', D);

Write(Name, '}{', B, '}+\frac{', F, '}{', C, '}\right)\cdot');

Write(Name, K Div 100, '{,}', K Mod 100, '-\frac{', Ch);

WriteLn(Name, '}{', Zn, '}\cdot 0{,}', Ch1 Div Zn1, '.$$')

В фрагменте программы использованы функции пользователя: Nod(A, B) — НОД(A, B); Stepen(A, B) — AB. Указанные функции должны быть описаны в программе.

Результаты работы программы для количества заданий, равного 5:

$$\left(1\frac{2}{3}+\frac{5}{8}\right)\cdot0{,}48-\frac{4}{35}\cdot 0{,}875.$$

$$\left(3\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\right)\cdot0{,}98-\frac{8}{35}\cdot

0{,}4375.$$

$$\left(2\frac{10}{27}+\frac{1}{18}\right)\cdot2{,}7-\frac{8}{25}\cdot

0{,}3125.$$

$$\left(2\frac{1}{2}+\frac{5}{6}\right)\cdot0{,}24-\frac{4}{15}\cdot 0{,}375.$$

$$\left(1\frac{5}{6}+\frac{3}{5}\right)\cdot1{,}5-\frac{4}{35}\cdot 0{,}875.$$

Результат обработки этого файла будет следующим:

Пример 2. Квадратное уравнение.

Настоящий пример несколько проще предыдущего. Рассмотрим два случая: а) корни уравнения — целые;
б) корни уравнения — обыкновенные дроби.

Как и в предыдущем случае, целесообразно идти к получению задания от ответа. Сгенерируем два корня уравнения и, используя теорему Виета, получим его коэффициенты. При генерации целых корней разумно сделать их различными и отличными от нуля. В приведенном ниже примере это задания под буквами а, б. При выводе задания в файл требуется учесть, что коэффициенты могут быть равны нулю, а также тот факт, что коэффициент, равный единице, не записывается.

Задания под буквами в, г предполагают наличие двух различных корней, являющихся обыкновенными правильными дробями. Алгоритм получения соответствующих коэффициентов в этом случае более громоздкий, хотя в основу положена все та же теорема Виета. Изначально опять же генерируем ненулевые различные корни уравнения, а затем на их основе получаем уравнение с целыми коэффициентами. В примере это делается поэтапно: сначала — корни уравнения; затем — коэффициенты уравнения — обыкновенные дроби, наконец, коэффициенты — целые числа, причем НОД(A, B, C) = 1.

Ниже приводятся законченный фрагмент программы, генерирующий задания, пример работы этой программы и результат обработки файла, полученного с помощью программы.

Program Kw;

Var F : Text;

{Процедура, производящая начальные установки в формате LaTeXа}

Procedure UST;

Begin

WriteLn(F, '\documentstyle[12pt,a4wide]{article}');

WriteLn(F, '\topmargin-3cm');

WriteLn(F, '\pagestyle{empty}');

WriteLn(F, '\setlength{\textheight}{27cm}');

WriteLn(F, '\setlength{\textwidth}{16cm}');

WriteLn(F, '\begin{document}');

End;

{НОД}

Function Nod (X, Y : Integer) : Integer;

Begin

While X <> Y Do

IF X > Y Then X := X - Y Else Y := Y - X;

Nod := X

End;

{НОК}

Function NoK (X, Y : Integer) : Integer;

Begin

NoK := X * Y Div Nod(X, Y)

End;

Var X1, I, X2, A, C, B : Integer;

Ch, Ch1, Zn, Zn1, BCh, BZn, CCh, CZn, J, V, Vsp : Integer;

Begin

Assign(F, 't:\rustex\kw_ur.tex');

ReWrite(F);

UST;

Randomize;

{Корни уравнения (целые)}

Repeat X1 := -10 + Random(21) Until X1 <> 0;

Repeat X2 := -10 + Random(21) Until X2 <> 0;

B := -(X1 + X2);

C := X1 * X2;

WriteLn(F, '\begin{tabular}{ll}');

Write(F, 'а)~$x^2');

If B <> 0

Then Begin

If B > 0

Then If B <> 1 Then Write(F, '+', B) Else Write(F, '+')

Else If B <> -1 Then Write(F, B) Else Write(F, '-');

Write(F, 'x');

End;

If C <> 0 Then If C < 0 Then Write(F, C) Else Write(F, '+', C);

WriteLn(F, '=0$;& б)~$');

Repeat X1 := -10 + Random(21) Until X1 <> 0;

Repeat X2 := -10 + Random(21) Until (X2 <> 0) And (X2 <> X1);

B := -(X1 + X2);

C := X1 * X2;

Write(F, 'x^2');

If B <> 0

Then Begin

If B > 0

Then If B <> 1 Then Write(F, '+', B) Else Write(F, '+')

Else If B <> -1 Then Write(F, B) Else Write(F, '-');

Write(F, 'x');

End;

If C <> 0 Then If C < 0 Then Write(F, C) Else Write(F, '+', C);

WriteLn(F, '=0$;\\');

{Генерируем уравнения с корнями — обыкновенными дробями}

For J := 0 To 1 Do

Begin

Repeat {первый корень}

Repeat Ch := -5 + Random(11) Until Ch <> 0; {числитель}

Zn := 2 + Random(8); {знаменатель}

V := Nod(Abs(Ch), Zn);

Ch := Ch Div V;

Zn := Zn Div V

Until (Zn > 1) And (Zn > Abs(Ch));

Repeat {второй корень}

Repeat Ch1 := -4 + Random(11) Until Ch1 <> 0;

Zn1 := 2 + Random(8);

V := Nod(Abs(Ch1), Zn1);

Ch1 := Ch1 Div V;

Zn1 := Zn1 Div V

Until (Zn1 > 1) And (Zn1 > Abs(Ch1)) And (Ch * Zn1 + Zn * Ch1 <> 0);

Vsp := Nod(Abs(Ch * Zn1 + Zn * Ch1), Zn1 * Zn);

BCh := (Ch * Zn1 + Zn * Ch1) Div Vsp; {числитель коэффициента B}

BZn := Zn * Zn1 Div Vsp; {знаменатель коэффициента B}

Vsp := Nod(Abs(Ch * Ch1), Zn1 * Zn);

CCh := Ch * Ch1 Div Vsp; {числитель коэффициента C}

CZn := Zn1 * Zn Div Vsp; {знаменатель коэффициента C}

A := Nok(BZn, CZn); {A}

B := BCh * A Div BZn; {B}

C := CCh * A Div CZn; {C}

Write(F, Chr(Ord('в') + J), ')~$', A, 'x^2');

If B <> 0

Then Begin

If B > 0

Then If B <> 1 Then Write(F, '+', B) Else Write(F, '+')

Else If B <> -1 Then Write(F, B) Else Write(F, '-');

Write(F, 'x');

End;

If C <> 0 Then If C < 0 Then Write(F, C) Else Write(F, '+', C);

Write(F, '=0$;');

If J = 0 Then WriteLn(F, '&') Else WriteLn(F, '\\');

End;

WriteLn(F, '\end{tabular}');

WriteLn(F);

WriteLn(F, '\end{document}');

Flush(F);

Close(F)

End.

Результат работы этой программы

\documentstyle[12pt,a4wide]{article}

\topmargin-3cm

\pagestyle{empty}

\setlength{\textheight}{27cm}

\setlength{\textwidth}{16cm}

\begin{document}

\begin{tabular}{ll}

а)~$x^2+2x-8=0$;& б)~$

x^2-4x-45=0$;\\

в)~$49x^2-7x-6=0$;&

г)~$12x^2+16x+5=0$;\\

\end{tabular}

\end{document}

Вид формул на печати

Если в приведенную выше программу внести незначительные изменения, то можно получить вариант, генерирующий логарифмические уравнения или какие-либо другие. Вот результат работы такой программы.

\documentstyle[12pt,a4wide]{article}

\topmargin-3cm

\pagestyle{empty}

\setlength{\textheight}{27cm}

\setlength{\textwidth}{16cm}

\begin{document}

\begin{tabular}{ll}

а)~$\log_{2}^2x-\log_{2}x-20=0$;& б)~$\log_{5}^2x

+7\log_{5}x+10=0$;\\

в)~$15\log_{3}^2x+22\log_{3}x+8=0$;&

г)~$27\log_{2}^2x+12\log_{2}x+1=0$;\\

\end{tabular}

\end{document}

Пример 3. Задание по теме “Тождественные преобразования алгебраических выражений”. (Из книги “Сборник задач для поступающих во втузы”: Учебное пособие / В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др. Под. ред. М.И. Сканави. 6-е изд., испр. и доп. М.: Столетие, 1997, упр. 2.061, с. 21):

При решении поставленной задачи прежде всего проанализируем заданное выражение. Для этого выполним его преобразование и получим ответ:

Таким образом, можно заметить, что числитель дроби-делимого, полученной после алгебраических преобразований в первых скобках, есть произведение ответа и числителя дроби-делителя, полученной после преобразований во вторых скобках. Следовательно, сам ответ, знаменатель дробей и числитель дроби-делителя могут быть сгенерированы произвольно, а на их основе строится дробь-делимое. Кроме того, для приведения выражения к виду, заданному в образце, необходимо и в первой, и во второй скобке числитель частично разделить на знаменатель.

Эти соображения и реализованы в приведенной ниже программе.

Program V;

Var F : Text;

{Процедура, производящая начальные установки в формате LaTeXа}

Procedure UST;

Begin

WriteLn(F, '\documentstyle[12pt,a4wide]{article}');

WriteLn(F, '\topmargin-3cm');

WriteLn(F, '\pagestyle{empty}');

WriteLn(F, '\setlength{\textheight}{27cm}');

WriteLn(F, '\setlength{\textwidth}{16cm}');

WriteLn(F, '\newcommand{\ds}{\displaystyle}');

WriteLn(F, '\begin{document}');

End;

Function Nod (X, Y : Integer) : Integer;

Begin

While X <> Y Do

If X > Y Then X := X — Y Else Y := Y — X;

Nod := X

End;

Var D, I, A, C, B, E, G, H, O, P, L, M, N, E1, G1, H1, O1, P1 : Integer;

Vx2, J, Vsp : Integer;

X, Znak : Char;

Begin

Assign(F, 't:\rustex\ex_v.tex');

ReWrite(F);

UST;

Randomize;

For I := 1 To 5 Do

Begin

Repeat {пока в числителях дробей не будут взаимно простые числа}

X := Chr(Ord('x') + Random(3)); {буква-переменная}

{Получаем знаменатель — выражение вида Ax+B,

A, B — целые, x — буква}

A := 1 + Random(5);

Repeat B := -4 + Random(9) Until B <> 0;

Vsp := Nod(A, Abs(B));

A := A Div Vsp; B := B Div Vsp;

Repeat

Repeat

{Получаем числитель делителя после преобразования

— выражение вида Lx^2+Mx+N,

L, M, N — целые, x — буква}

L := 1 + Random(5);

Repeat M := -4 + Random(9) Until M <> 0;

Repeat N := -4 + Random(9) Until N <> 0;

Vsp := Nod(Nod(L, Abs(M)), Abs(N));

L := L Div Vsp;

M := M Div Vsp;

N := N Div Vsp;

{Получаем ответ — выражение вида Cx+D,

C, D — целые, x — буква}

C := A * (1 + Random(3));

Repeat D := -4 + Random(9) Until D <> 0;

{Формируем выражение-делитель. Получаем его в виде

(Ex+G+(Hx^2+Ox+P)/(Ax+B))}

Repeat E := -3 + Random(7) Until E <> 0;

Repeat G := -3 + Random(7) Until G <> 0;

H := L — A * E;

O := M — (B * E + G * A);

P := N — B * G;

Until (H <> 0) And (O <> 0) And (P <> 0);

If H < 0 Then Begin Znak := '-'; H := -H; O := -O; P := -P End

Else Znak := '+';

{Формируем на основе ответа и делителя выражение-делимое

вида (E1x^2+G1x+(O1x+P1)/(Ax+B))}

E1 := C * L Div A;

Vx2 := D * L + M * C — E1 * B;

Until Vx2 Mod A = 0;

G1 := Vx2 Div A;

O1 := D * M + N * C — G1 * B;

P1 := D * N;

Until (Nod(Abs(H), Nod(Abs(O), Abs(P))) = 1) And (Nod(Abs(O1), Abs(P1)) = 1);

{выводим в файл очередное получившееся выражение,

учитывая, что некоторые коэффициенты могут быть нулями,

коэффициенты, равные 1 или -1, не указываются и др.}

Write(F, Chr(Ord('а') + I — 1), ')~$\ds\left(');

If Abs(E1) <> 1 Then Write(F, E1)

Else If E1 = -1 Then Write(F, '-');

Write(F, X, '^2');

If G1 <> 0

Then Begin

If Abs(G1) <> 1 Then Begin

If G1 > 0 Then Write(F, '+');

Write(F, G1)

End

Else If G1 = -1

Then Write(F, '-')

Else Write(F, '+');

Write(F, X);

End;

If O1 <> 0

Then Begin

If O1 < 0

Then Begin Write(F, '-'); O1 := -O1; P1 := -P1 End

Else Write(F, '+');

Write(F, '\frac{');

If O1 <> 1 Then Write(F, O1);

Write(F, X);

If P1 <> 0

Then Begin If P1 > 0 Then Write(F, '+');

Write(F, P1)

End;

Write(F, '}');

End

Else If P1 <> 0

Then Begin If P1 < 0

Then Write(F, '-')

Else Write(F, '+');

Write(F, '\frac{', Abs(P1), '}');

End;

If (O1 <> 0) Or (P1 <> 0)

Then Begin

Write(F, '{');

If A <> 1 Then Write(F, A);

Write(F, X);

If B > 0 Then Write(F, '+');

Write(F, B, '}')

End;

Write(F, '\right):\left(');

If Abs(E) <> 1 Then Write(F, E)

Else If E = -1 Then Write(F, '-');

Write(F, X);

If G > 0 Then Write(F, '+');

Write(F, G);

Write(F, Znak, '\frac{');

If H <> 1 Then Write(F, H);

Write(F, X, '^2');

If O > 0 Then Write(F, '+');

If Abs(O) <> 1 Then Write(F, O)

Else If O = -1 Then Write(F, '-');

Write(F, X);

If P > 0 Then Write(F, '+');

Write(F, P, '}{');

If A <> 1 Then Write(F, A);

Write(F, X);

If B > 0 Then Write(F, '+');

WriteLn(F, B, '}\right)$;');

WriteLn(F)

End;

WriteLn(F);

WriteLn(F, '\end{document}');

Flush(F);

Close(F)

End.

Вот один из результатов ее работы:

\documentstyle[12pt,a4wide]{article}

\topmargin-3cm

\pagestyle{empty}

\setlength{\textheight}{27cm}

\setlength{\textwidth}{16cm}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

а)~$\ds\left(6z^2+z+\frac{13z+6}{3z-4}\right):

\left(-z-2+\frac{5z^2-z-6}{3z-4}\right)$;

б)~$\ds\left(12y^2+20y+\frac{19y-1}{y-1}\right):

\left(2y+3+\frac{2y^2+3y+4}{y-1}\right)$;

в)~$\ds\left(4x^2-2x-\frac{8x+3}{x+1}\right):

\left(-x-1+\frac{3x^2+6x+2}{x+1}\right)$;

г)~$\ds\left(12x^2-22x+\frac{39x+1}{x+2}\right):

\left(-2x+3+\frac{6x^2+3x-7}{x+2}\right)$;

д)~$\ds\left(z^2+2z-\frac{2z-9}{z-2}\right):

\left(-2z+2+\frac{3z^2-9z+7}{z-2}\right)$;

\end{document}

А вот что получено после обработки этого документа с помощью LaTeX:

Итак, программа значительно увеличила количество заданий, отвечающих заданному образцу. Однако следует заметить — в этот вариант программы не заложена гарантия, что все сгенерированные задания будут различны. Для подобного рода гарантий необходимо предпринять дополнительные усилия.

LaTeX позволяет сохранить результат обработки исходного файла в формате Postscript (файла с расширением .ps), который может быть просмотрен и распечатан с помощью любой программы, поддерживающей такой формат (например, GsView).

В завершение предлагаем познакомиться с набором самостоятельных и контрольных работ по алгебре и геометрии для 7–9-х классов в формате LaTex и частично в Postscript, а также набор исходных кодов программ на языках Pascal и Basic, генерирующих эти задания. Все дидактические материалы были апробированы в школах № 50 и 112 г. Перми.

Указанная подборка заданий размещена на сайте http://comp-science.narod.ru в разделе “Дидактические материалы по математике” (прямая ссылка http://comp-science.narod.ru/didakt.html).


Приведенные в статье исходные тексты записаны в старом формате LaTex 2.09, т.к. разрабатывались достаточно давно. Тем не менее они распознаются и поддерживаются в современных пакетах.

А.. П.. Шестаков

TopList