ЖАРКОЕ ЛЕТО-2006

Компьютерные модели в школьном курсе физики

От авторов

В связи с проведением реформы в сфере образования появляются новые виды учебных дисциплин, такие, как, например, профильные или курсы по выбору (так называемые “элективные”) и некоторые другие. Это не может не приводить к поискам глубоких по содержанию, но в то же время интересных для учеников и коротких учебных курсов. Авторы предлагают вашему вниманию один из вариантов подобного курса, сочетающего в себе мировоззренческие знания о фундаментальных законах природы с наглядной и современной формой компьютерного практикума.

Особенностью предлагаемых материалов является моделирование физических процессов на серьезном научном уровне (хотя и с учетом реальных знаний школьников). Усвоение материала в полной постановке дает возможность ученикам научиться современным методам теоретического исследования природных процессов.

В последнее время появилось большое количество электронных учебных материалов по физике, например, на компакт-дисках или в виде сетевых ресурсов. Как правило, они либо не оставляют учащимся возможности для творческого внесения исправлений в имеющиеся там модели, либо такая деятельность требует от них освоения весьма специфических для данной среды приемов. Предлагаемый практикум опирается лишь на стандартный уровень работы с широко распространенными системами Delphi и Excel, освоение которых не только не является делом узкоспециальным, но, напротив, они широко применяются во многих других областях. С этой точки зрения практикум должен заинтересовать учителей информатики, тем более что они найдут в программной части примеры нетривиального решения некоторых проблем.

Особо подчеркнем, что вполне возможен и упрощенный вариант реализации курса без всякого программирования: обратиться на сайт редакции в раздел Download, выбрать среди имеющихся там материалов готовые реализации приложений для моделирования, загрузить их, а затем сосредоточить свое внимание только на физических проблемах. Подобный подход, возможно, заинтересует учителей физики.

Компьютерное обеспечение практикума можно получить на сайте “Информатики” в разделе “Download”

1. Модели и цели моделирования

Слова “модель” и “моделирование” в последние годы стали часто использоваться и в учебной литературе, и в обычных жизненных ситуациях. Моделью называют девушку, которая демонстрирует новые покрои одежды, или, глядя на которую, художник рисует картину. Плюшевого медвежонка и другие разнообразные игрушки, с которыми имеет дело ребенок в повседневной жизни, современные учебники информатики также называют моделями. Линию, которую по линейке провел школьник в своей тетради, некоторые учителя склонны называть моделью прямой, желая подчеркнуть ее несовершенство и отличие от “настоящей” математической прямой. Моделью называют плоское графическое или объемное изображение будущего городского микрорайона. Многие считают произведения искусства и литературы моделью “человеческой души”. Систематизированные сведения, представленные об объекте в электронном виде, называемые раньше базой данных, теперь многие методисты считают целесообразным называть информационной моделью объекта. Достаточно распространенным является мнение о том, что совокупность наших знаний о природе образует ее модель [1, 2]. Словарь иностранных слов выделяет шесть разных смыслов слова “модель”: 1) образец какого-либо изделия для серийного производства; 2) тип, марка, образец конструкции чего-либо; 3) воспроизведение предмета в уменьшенном или увеличенном виде; 4) предмет изображения в искусстве, натурщица, позирующая художнику; 5) образец предмета, служащий для изготовления формы при воспроизведении в другом материале; 6) схема, изображение или описание какого-либо явления или процесса в природе и обществе.

В слово “моделирование”, по своему грамматическому устройству означающему некоторое действие, вкладывается еще более широкий смысл. Это, во-первых, построение всякого рода моделей. Поскольку человек всегда действует по некоторому заранее подготовленному плану, поэтому считается, что результатом его деятельности является некоторая модель [1]. С этой точки зрения все, что сделано человеческими руками или при его вмешательстве, можно считать моделью. Следуя этому взгляду, например, дворник, убирая улицу после ночного снегопада, создает модель чистой улицы. Во-вторых, под моделированием понимают экспериментальное исследование свойств моделей и критическую оценку их возможностей. В-третьих, использование моделей для формирования умений и навыков.

Обратим внимание еще на существование в “чистой” математике своей строгой теории моделей [3].

Ясно, что такое широкое понимание модели и моделирования, далекое от конструктивного, научного смысла этих слов, делает эти термины малосодержательными или требует классификации, которая из-за многообразия смысла исходных понятий не может быть однозначной и полезной. Широкая дискуссия о том, как в школьном курсе вести понятие модели: на основе строго философского определения [4] или интуитивного бытового понимания этого слова, — не может привести к однозначному решению. В связи с этой проблемой нам кажется интересной публикация [5]. Компьютерное моделирование предполагает использование универсального исполнителя — персонального компьютера. На наш взгляд, разумно не классифицировать виды компьютерных моделей, а говорить об области знаний или деятельности, в которых компьютерное моделирование осуществляется. Например, компьютерное моделирование в градостроении, компьютерное моделирование чрезвычайных ситуаций в природе, компьютерное моделирование высокомолекулярных соединений, компьютерное моделирование физических процессов.

Как же ограничить понятие модели и моделирования для наших целей исследования физических процессов? Вот что говорит по этому поводу “Физический энциклопедический словарь” 1963 года издания [6], когда слово “модель” не было в такой моде: “Моделирование — метод экспериментального исследования, основанный на замещении конкретного объекта эксперимента (образца) другим, ему подобным (моделью). Моделирование применяется в тех случаях, когда целью исследования является не выяснение общих физических закономерностей, а детальное изучение вполне конкретного процесса, развивающегося в системе с определенными геометрическими и физическими свойствами при заданных режимных условиях”. Далее мы будем придерживаться такой точки зрения и более подробно обсудим эти идеи.

Окружающий человека мир действительно сложен и разнообразен. В процессе его познания человек вынужден выделять в исследуемых объектах наиболее важные черты и свойства, а в происходящих явлениях существенные связи. Для определения количественных связей экспериментатор создает достаточно сложные приборы и установки. Они являются обычными физическими объектами, в которых конструктивно второстепенные связи отодвинуты на второй план, и это позволяет экспериментатору установить количественные закономерности. Важнейшие из них составляют содержание законов природы. Называть чувствительные установки экспериментатора моделями чего-либо вряд ли разумно. Например, известные крутильные весы Кулона, на которых измерялась сила взаимодействия заряженных шариков, являются моделью чего?

В том случае, когда устанавливаются фундаментальные законы или изучаются физико-химические свойства тел, экспериментатор проводит, как говорят, натурные эксперименты (опыты Галилея, Кулона, Фарадея — этот список можно долго продолжать). Например, для установления закона всемирного тяготения нужно измерить силу притяжения двух тел, в качестве которых могут быть взяты астрономические тела или большие шары. Для формулировки закона Ома необходимо для разных проводников в эксперименте установить связь между током в цепи и напряжением на концах проводника. Для определения вязкости жидкости нужно эту жидкость залить в вискозиметр и провести измерение. Следует еще раз подчеркнуть, что для проведения некоторых экспериментов исследователям приходится делать очень сложные в техническом отношении установки (не модели). В физической науке, особенно на первоначальном этапе ее развития, доминировали натурные эксперименты. Они должны занимать определенное место и в процессе обучения физике как источник первоначального знания о законах природы. Иллюстрация физических законов, на наш взгляд, в случае возможности должна производиться в натурном эксперименте. Только в натурном эксперименте можно убедиться в справедливости того или иного закона! В кино и на экране компьютера можно показать все, что угодно!

В современной науке, однако, ситуация несколько изменилась. Часто возникает потребность в эксперименте, в котором не требуется открывать фундаментальные законы природы, а необходимо установить поведение какого-либо конкретного объекта или характер протекания конкретного процесса в рамках известного класса явлений. Например, вы придумали новую форму корпуса самолета и хотите узнать его летные качества. Хотя физика происходящих в окрестности самолета явлений достаточно ясна, разумно ли сразу строить аппарат натуральных размеров и проводить полетные эксперименты? Или другой пример: в технологическом процессе подготовки высококачественной стали требуется ввести легирующую добавку. В какой момент времени и в каком месте это сделать, особенно если добавка может выгореть? Можно ли без больших затрат провести прямой эксперимент? Ответ на эти вопросы один: требуются предварительные эксперименты на вспомогательных объектах.

Для детального изучения свойств конкретных объектов и сложных явлений современный исследователь создает вспомогательные объекты, с которыми ему легче экспериментировать, во взаимодействии которых удобней наблюдать интересующие явления. Как говорилось выше, метод экспериментального исследования, основанный на замене конкретного объекта эксперимента другим, в некотором смысле ему подобным, будем называть моделированием, а объект, над (на) которым (ом) производится эксперимент, — моделью. Именно только в этом смысле дальше будут употребляться слова “модель” и “моделирование”.

Обычно модель предназначается для изучения вполне конкретного процесса, происходящего в системе с определенными геометрическими параметрами и физическими свойствами в условиях, когда обстановка для натурного эксперимента неблагоприятна. Например, геометрические размеры системы чрезмерно велики или очень малы, исследуемый процесс протекает слишком быстро или слишком медленно, очень высоки значения режимных параметров процесса (температура, давление, электрическое напряжение и т.п.), дороговизна или токсичность расходуемых материалов и другие факторы.

Почему мы надеемся получить знание об объекте, экспериментируя на модели? Модель и моделируемый объект связывают условия подобия, что и позволяет на модели воспроизводить явления, подобные тем, которые происходят в объекте (об этом говорит опыт). Модель, конечно, должна быть геометрически подобна объекту. Понятно, однако, что поведение физического объекта определяется не только его геометрией, но и характером воздействия на него внешних объектов, его физическими характеристиками. Поэтому требуется выполнение подобия еще по физическим параметрам. Ясно, что характер протекания физического явления не должен зависеть от выбора единиц измерения физических величин (выберем мы для измерения расстояния метр или другую величину, для измерения времени секунду или период какого-нибудь циклического процесса и т.д.), а определяется безразмерными параметрами, т.е. относительными величинами. В случае подобия явлений все их количественные характеристики, представленные в относительной форме, совпадают. Тождественность всех, признанных существенными, относительных характеристик у модели и оригинала означает соответствие между оригиналом и моделью. Иногда это требование оказывается настолько жестким, что модель оказывается совпадающей с оригиналом. В этом случае некоторые характеристики объекта провозглашаются несущественными, и строится более грубая модель объекта.

Представление результатов эксперимента с моделью в относительных переменных позволяет исследованием на одной модели обеспечить изучение целой группы подобных явлений. В пределах этой группы для конкретного объекта численные результаты получаются простым пересчетом, состоящим в умножении на масштабные коэффициенты.

При физическом моделировании предполагается физическая однородность объекта и модели, их геометрическое подобие и подобие краевых распределений. Кроме этого, остаются еще требования количественного характера, выражающиеся в равенстве критериев подобия. Критерии подобия — это безразмерные числа, величина которых определяется как произведение степенных функций воспроизводимых (или управляемых) параметров (только степенные функции параметров позволяют сделать их произведение с нулевой размерностью).

Приведем примеры. При исследовании общей картины обтекания твердого тела однородным потоком несжимаемой жидкости воспроизводимыми параметрами являются: характерный геометрический размер тела L см, скорость набегающего потока вдали от тела v_o м/с, кинематическая вязкость жидкости v см²/с. Эти три параметра связываются в один безразмерный критерий подобия — число Рейнольдса: Re = v_o L/v. В модели, воспроизводящей характер обтекания реального объекта, кроме геометрического подобия, требуется выполнить равенство чисел Рейнольдса модели и объекта (только в этом случае структура течения около модели будет подобна структуре течения около объекта):

                   (1.1)

— где штрихом отмечена величина, относящаяся к объекту, а двумя штрихами — величина, относящаяся к модели. Уравнение (1.1) удобно записать в другом виде

       (1.2)

или, вводя множители преобразования воспроизводимых параметров

в виде

. (1.3)

Уравнение (1.3) связывает три параметра модели одним уравнением, оставляя большую свободу для построения модели (выбора жидкости, размера тела или скорости потока). Используя ту же жидкость, можно, например, в два раза уменьшить размер модели, одновременно в два раза увеличив скорость течения жидкости.

Если, однако, существенным становится еще хотя бы один воспроизводимый параметр, то ситуация может существенно измениться. Пусть, например, обтекаемое тело находится не слишком далеко от поверхности жидкости, и на ее обтекании сказывается сила тяжести. В этом случае появляется по крайней мере еще один воспроизводимый параметр g — ускорение свободного падения и еще один независимый критерий подобия — число Фруда

.

Требование равенства чисел Фруда для модели и объекта приводит к уравнению

. (1.4)

В экспериментах на Земле k_g =1 и возникает связь

. (1.5)

Уравнение (1.3) с учетом (1.5) приводит к

Это означает, что натурную жидкость (k_v = 1) в модели использовать нельзя, поскольку при этом модель становится тождественной натуре (k_v = 1, k_L = 1).

Как сформулировать критерии подобия для произвольной физической проблемы? Если интересующий физический процесс описывается некоторой системой уравнений (с помощью фундаментальных физических законов в разумном приближении удается записать систему уравнений), то переход в этой системе к собственным единицам измерения (к безразмерным единицам) автоматически порождает все критерии подобия задачи. Если такие уравнения не используются, то необходимо выписать все существенные воспроизводимые параметры физического явления и построить независимые безразмерные критерии, подобно тому, как это было сделано выше. Формулировка критериев подобия обязательна при любом моделировании, так как числовые значения именно этих критериев определяют характер протекающего процесса.

Отказ от требования физической однородности явлений в натуре и модели расширяет возможности моделирования. Для построения модели можно использовать количественное описание исследуемого явления с помощью алгебраических, дифференциальных или других уравнений и неравенств. Совокупность этих математических соотношений, представляющих обычно сложную математическую задачу, должна отражать существенные стороны моделируемого объекта. Как в этом случае нам удается получить новые знания об объекте? Дело в том, что, пользуясь фундаментальными законами физики, мы можем легко описать поведение объекта на малых интервалах времени и изменение полей, задающих состояние объекта, на малых пространственных масштабах. Наоборот, для целей практики обычно требуется знание интегрального поведения объекта, т.е. изменения его состояния на большом промежутке времени. Таким образом, в модель мы закладываем свои дифференциальные знания об объекте, а в результате экспериментов с моделью получаем некоторые интегральные знания. Метод моделирования в этом случае называется математическим моделированием и сводится к построению решения некоторой обычно сложной математической задачи, его анализу и наглядному представлению результатов исследования.

Среди изучаемых явлений и процессов встречаются такие, главным свойством которых является их случайный характер. Наиболее ярким примером такого процесса является блуждание броуновской частицы. Для моделирования подобных процессов используется метод аналогии. В модели воспроизводят случайный характер процесса, имеющий такие же статистические характеристики, какие имеет исследуемый объект. Полученные в результате эксперимента интегральные характеристики модели переносят на объект. Такой метод моделирования называют имитационным моделированием.

Важной причиной использования моделей может служить привлечение их как средства обучения и тренажа.

Можно сформулировать следующие цели школьного курса моделирования:

1) дать научные основы моделирования (правила построения моделей и экспериментов с ними);

2) углубить знания учащихся в области конкретных наук и придать изучению этих наук творческий характер;

3) при математическом моделировании дать практические примеры использования математических методов, вложив в формальные математические подходы конкретный смысл практической деятельности;

4) разнообразить уроки информатики с помощью решения конкретных вытекающих из практики задач;

5) продемонстрировать возможности современных компьютеров для решения задач, не укладывающихся в офисные приложения.

2. Особенности математического моделирования

Одной из наиболее популярных и полезных форм моделей в современной науке являются математические модели. Создавая математическую модель, необходимо установить количественные связи, описывающие свойства объекта или явления. Каждая характерная черта объекта, особенность его поведения должна быть зафиксирована в виде некоторого математического отношения. Наиболее просто связи между характеристиками объекта моделирования устанавливаются на малых промежутках времени и для близких точек пространства. Записывая такие связи, мы обычно приходим к дифференциальным уравнениям или к их конечно-разностным аналогам. Построение математических моделей с использованием дифференциальных уравнений является наиболее распространенным методом в физике, поскольку все основные законы современной физической науки записываются в виде таких уравнений. Дифференциальными уравнениями являются уравнения механики Ньютона и квантовой механики, уравнения гидродинамики, электродинамики и термодинамики.

Исследование математических моделей, построенных на базе дифференциальных уравнений или их конечно-разностных аналогах, почти всегда сводится к численному эксперименту или, как говорят, к численному моделированию. Численное моделирование стало важным методом научного исследования в связи с тем, что модели содержат нелинейные уравнения или обладают большим числом степеней свободы (описываются системой уравнений с большим числом переменных) и не поддаются аналитическому анализу. Кроме того, в распоряжении исследователей появилась техника с огромными вычислительными и графическими возможностями — персональные компьютеры. Их использование в математическом моделировании наложило свой отпечаток на характер экспериментального исследования модели. Формулировка задачи для компьютера требует четкого понимания цели численного эксперимента и вопросов, на которые должен дать ответ этот эксперимент. Оперативное графическое представление результатов численного эксперимента на дисплее позволяет сделать результаты наглядными и приблизить численный эксперимент к аналитическому исследованию математической модели.

Важной проблемой во всяком моделировании, а при численном — в особенности, является проблема достоверности результатов эксперимента, т.е. правильного описания поведения реального объекта в результатах эксперимента на модели. В численном эксперименте, кроме огрубления реального объекта при переходе к математической модели, вносятся дополнительные ошибки, связанные с приближенным решением сформулированной в модели математической задачи. Контроль за погрешностями в численном эксперименте может быть организован разными способами, но должен присутствовать всегда. Эффективным методом такого контроля можно считать привязку результатов численного эксперимента к нескольким возможным асимптотическим решениям математической задачи или сопоставление результатов численных экспериментов, проведенных разными математическими методами. Последним словом в пользу справедливости результатов моделирования является согласование его результатов с контрольными натурными экспериментами.

Каковы основные источники погрешности при моделировании физических задач?

Погрешность математической модели. При составлении математической модели задачи учитывают лишь наиболее важные факторы, а многими второстепенными пренебрегают. Например, в большинстве “житейских” задач поверхность Земли считается плоской, а влиянием трения пренебрегается. Но это вовсе не означает, что данные факторы не оказывают никакого влияния, ни тем более того факта, что они никогда не являются существенными.

Погрешность исходных данных. Все физические величины и константы либо непосредственно измеряются приборами, либо вычисляются на основе тех или иных измерений. Очевидно, что каждый прибор имеет определенную погрешность измерения.

Погрешность численного метода. Любой численный метод аппроксимирует (описывает) решение физической задачи с определенной погрешностью. В частности, большинство физических уравнений имеют дифференциальную форму, которая малопригодна для решения на компьютере; центральная идея в подготовке задачи к расчетам на ЭВМ состоит в замене бесконечно малых разностей малыми, но конечными. Даже на интуитивном уровне понятно, что переход от исчисления бесконечно малых к конечным разностям вносит некоторую погрешность.

Погрешность представления чисел в компьютере. Когда мы вводим десятичное вещественное число в компьютер, оно подвергается автоматическому преобразованию в двоичное представление. Данный процесс не всегда возможно произвести точно. Например, “круглое” в десятичной системе число 0,1 при переводе в двоичную систему образует бесконечную дробь, которая принудительно обрывается на каком-либо знаке. Так возникает еще один механизм появления погрешности.

Погрешность вычислений функций в компьютере. При вычислении математических функций, таких, как sin(x) или ln(x), используется разложение в ряд. Сумма ряда опять-таки не может быть вычислена абсолютно точно, поскольку процесс вычисления обрывается на определенном слагаемом, а всеми остальными пренебрегается.

Погрешность арифметических действий над приближенными значениями. Если произвести арифметическое действие над двумя приближенными числами, то результат тоже будет сохранять определенную погрешность. Рассмотрим в качестве иллюстрации классический пример вычитания двух близких приближенных чисел. Пусть A = 3,84, а B = 3,82, причем их абсолютная погрешность не превышает 0,01 (нетрудно подсчитать, что относительная погрешность в этом случае не более 0,03 %). Тогда разность A – B = 0,02, причем погрешность, равная сумме погрешностей исходных чисел, составит 0,01 + 0,01 = 0,02, т.е. 100 %! Разумеется, в реальных вычислениях ситуация не настолько катастрофическая, но погрешность все равно будет.

Несложные рассуждения показывают, что первые две причины не имеют непосредственного отношения к компьютерному моделированию, и уменьшением таких видов погрешности занимаются физики. Что же касается остальных ее разновидностей, то они носят вычислительный характер и представляют с точки зрения нашей публикации определенный интерес. Поэтому рассмотрим вопрос об этих типах погрешностей (и, следовательно, точности результатов численного моделирования) несколько подробнее.

Прежде всего отметим, что одной из главных особенностей компьютера является его дискретность. Это означает, что для представления чисел, равно как и любой другой информации, используется конечное число двоичных разрядов. Именно отсюда вытекают почти все особенности “компьютерных” чисел по сравнению с “математическими”.

Существует два принципиально разных вида чисел, представленных в компьютере: целые и вещественные.

Целые всегда кодируются в машине абсолютно точно, и единственная неприятность, которая может с ними возникнуть, это так называемое “переполнение”, т.е. ситуация, когда имеющихся двоичных разрядов не хватает для записи получившегося числа. Проще говоря, для выбранного типа представления целых чисел их диапазон конечен, в то время как в математике целое число может быть сколь угодно большим. Благодаря достаточно большой разрядности современных процессоров, а также наличию разнообразных форматов целых чисел (“коротких” и “длинных”) данная проблема встает перед рядовым пользователем довольно редко. В частности, даже попытки специально “переполнить” числовую ячейку Excel во многом безуспешны, поскольку тот “в трудной ситуации” незаметно для пользователя автоматически переводит большое число в другой формат, где “потолок” допустимых значений выше (в том числе даже переходит от целочисленных типов к вещественным!).

Что касается вещественных чисел, то здесь ситуация заметно хуже. Напомним читателям, что в отличие от дискретных целых чисел множество вещественных чисел является непрерывным. Из этого немедленно следует, что на любом произвольно выделенном отрезке количество вещественных чисел ничем не ограничено (иначе говоря, в математике количество знаков после запятой бесконечно, что опять-таки невозможно полностью смоделировать в машине по причине дискретности). По указанным причинам, при вводе в компьютер вещественные числа должны проходить процедуру дискретизации (сравните с процессом записи звука в компьютере), что делает принципиально невозможным их абсолютно точное представление.

Какие практические выводы следуют из изложенной абстрактной теории?

· Подавляющее большинство вещественных чисел не может быть представлено в компьютере точно, а значит, их сравнение на равенство некорректно (исключение могут составлять значения с нулевой дробной частью или случаи, когда последняя является степенью двойки, например, 3,25).

· Поскольку вещественные числа, вообще говоря, приближенны, результаты любых действий над ними тем более содержат погрешность, причем при большом количестве вычислений погрешность может стать существенной.

· Компьютер производит вычисления не идеально точно, поэтому полученные результаты расчетов (особенно сложных) необходимо проверять на достоверность.

Приведем конкретные примеры, демонстрирующие наличие вычислительной погрешности различных видов.

Пример 1

Запустим следующую простую программу на Паскале.

const n=10;

var i:integer; s,h:double;

begin h:=1/n; s:=0;

for i:=1 to n do s:=s+h;

writeln(1-s);

end.

Как ясно из текста программы, она 10 раз складывает дроби 0,1. Из результатов запуска следует, что ответ не равен 1 (несмотря на двойную точность применяемых вещественных чисел!), хотя и отличается от нее всего на 10–16.

Пример 2 [7]

Допустим, что в качестве упражнения по освоению электронной таблицы Excel учитель предложил ученикам проверить тот факт, что n! = (n–1)! * n. Примерное решение задачи для n = 5 может выглядеть следующим образом:

Примечание. На всякий случай напомним читателю, что запись n!, в математике называемая “красивым” термином “факториал”, есть просто произведение последовательных целых чисел от 1 до n. Например, 5! = 120.

Аккуратно внесем формулы в электронную таблицу, и Excel послушно подтвердит, что все правильно, написав “да” в ячейке D3. А если взять другое число, допустим, 25? К нашему удивлению, появится результат, изображенный на рис. 2.1.

Рис. 2.1

Неожиданным здесь является то, что ячейка C3, вычисленная как разность C1 – C2, вроде бы равняется нулю, но проверка в клетке D3 утверждает, что это не так! Все дело в том, что 25! достаточно большое число и в ходе вычислений имеющейся разрядной сетки становится недостаточно для полного сохранения результатов; приходится последние (наименее важные) разряды округлять. Результат тем более удивителен, что из условия задачи кажется, что компьютер должен оперировать исключительно с целыми числами и никакой погрешности возникать не должно! На самом же деле из-за большой величины результаты преобразованы в вещественную форму (о чем красноречиво говорит запись 1,55E+25).

Пример 3

В школьной физике при решении задачи ответ очень часто представляется в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоит произведение известных физических величин и констант. Сколько правильных цифр получится в ответе, если наименьшее число значащих цифр в одном из данных равно 3?

Из строгой математической теории погрешности [8] следует, что не более трех, как бы ни точны были все остальные данные! И сколько бы разрядов не использовалось при компьютерных вычислениях, ситуация принципиально не может быть улучшена. Практический вывод таков: никакая точность вычислений не может получить больше знаков, чем имеет самое “грубое” из начальных данных.

Пример 4

Рассмотрим решение простого уравнения x = 0,5 x² + 0,01 методом итераций. Зададим в качестве начального приближения x0 три близких значения — 1,98, 1,99 и 2. В итоге получим три разных поведения функции.

В первом случае значения устремятся к корню уравнения, равному 0,01. Во втором случае график уйдет вверх после весьма продолжительного горизонтального участка, наконец, третий начнет расти практически сразу же. Итак, мы видим, что при вычислениях по весьма примитивной формуле для трех достаточно близких чисел результаты носят качественно разный характер.

Данный пример показывает, что вычислительный метод может оказывать существенное влияние на получение решения.

В заключение этого параграфа сформулируем кратко, на какие этапы можно условно разделить весь процесс математического моделирования с использованием численного эксперимента.

1. Начать моделирование нужно с обсуждения физической проблемы и постановки вопросов, на которые следует получить ответ.

2. Для физических величин, появившихся при этом обсуждении, написать управляющие уравнения, используя фундаментальные законы или знания о дифференциальных свойствах исследуемого процесса. Необходимо убедиться в математической полноте сформулированной задачи.

3. Выбрать характерные масштабы для переменных и записать уравнения в безразмерном виде. Выбрать независимые критерии подобия задачи.

4. Переформулировать математическую задачу на языке алгебры и выбрать метод ее решения.

5. Составить алгоритм численного эксперимента.

6. Записать алгоритм на алгоритмическом языке и провести пробные вычисления для проверки работоспособности выбранного метода. При неудаче вернуться к п. 4.

7. Провести численный эксперимент для широкого диапазона значений критериев подобия. Выделить те из них, при которых происходит смена режимов в исследуемых физических процессах.

8. Подвергнуть критическому анализу все полученные результаты, сравнить их с известными натурными экспериментами. Рассмотреть возможные пути улучшения модели, если результаты в каком-либо смысле оказались неудовлетворительными, или упрощения модели, если численный эксперимент оказался трудоемким.

В дальнейшем мы перейдем к конкретным примерам, на которых будут проиллюстрированы основные проблемы численного моделирования.

3. Организация физического моделирования в среде Delphi

Современная визуальная система программирования Delphi предоставляет удобное средство для создания среды моделирования любой физической задачи. Ее визуальная часть, будучи необычайно простой и естественной, позволяет быстро и без особых усилий создать на экране компьютера современный диалоговый интерфейс, который не уступает применяемому в профессиональном программном обеспечении. Лежащий в основе системы алгоритмический язык Паскаль является классическим учебным языком, так что запрограммировать на нем небольшую вычислительную задачу не представляет особой трудности. Наконец, встроенные в систему стандартные компоненты для поддержки таблиц и графики служат приятным дополнением к перечисленным выше достоинствам.

По Delphi выпущено огромное число весьма объемных книг, поэтому среди целей нашей публикации не будет подробного описания системы и простейших приемов взаимодействия с ней с помощью мыши. В то же время отдельные важные вопросы программирования в системе (например, связанные с организацией структуры пакета из нескольких проектов, имеющих значительную общую часть, и с оптимизацией рисования графиков), напротив, будут описаны максимально подробно. Иными словами, при изложении материала предполагается достаточным знание читателями основных правил записи программы на языке Паскаль и простейшие навыки работы с Delphi, но ничего сверх этого не потребуется.

Заметим, что существует вариант организации данного практикума и без знания программирования — можно просто загрузить с сайта редакции и использовать для моделирования готовые исполняемые файлы. Тем не менее, по мнению авторов, знание хотя бы основ программирования для физика-исследователя весьма желательно, так что мы надеемся, что данный раздел публикации также окажется востребован образовательной общественностью.

Учитывая, что целью данной публикации является реализация не одной физической модели, а их целого комплекта, следует особенно тщательно спланировать разработку среды моделирования: необходимо максимально упростить создание последующих программ путем выделения стандартных операций (построение таблиц значений и графиков) в автономные модули с удобным интерфейсом.

Подчеркнем, что в учебной литературе подобным вопросам уделяется мало внимания. В самом деле, при выполнении первых упражнений справедливо предполагается, что они простые и автономные, а также что в дальнейшем тексты их программ едва ли войдут без изменения в качестве составной части в другие задачи. Следовательно, средства Delphi для модульного программирования и создания комплексов похожих программ остаются “за кадром”. В нашем случае ситуация иная. Мы предполагаем разработать единый пакет программ, которые похожи по функциональности и интерфейсу, что, напротив, открывает большие возможности для унификации и повторного использования уже написанных программных блоков.

Итак, обсудим наиболее общие вопросы моделирования физических задач в системе Delphi, которые будут использоваться во всех разработанных в публикации примерах.

Построение графиков в системе Delphi

В научных исследованиях процесс получения результата часто имеет не меньшее значение, чем собственно результат. Поэтому мы сочли полезным и поучительным продемонстрировать все этапы решения задачи построения графиков в системе Delphi, а не просто сразу описать готовую программу, в которой все уже заранее предусмотрено.

Итак, рассмотрим некоторые характерные проблемы, которые последовательно возникают при построении графиков результатов расчетов на экране дисплея.

Проблема 1. Как пересчитывать координаты?

Система целочисленных координат дисплея и вещественная декартова система координат устроены не совсем одинаково.

Рис. 3.1

Тем не менее получить формулы масштабирования для перевода физической величины в координаты пикселей дисплея не очень сложно. Выведем, пользуясь рисунком, формулы для пересчета физических координат a и f (аргумент и функция) в экранные x и y для некоторой произвольной точки.

Определим сначала физические размеры окна, которое будет отображаться на экране:

Используя пропорциональность в направлении оси x, можно записать:

Отсюда немедленно получается, что

        (3.1)

Аналогичным образом

Записанная выше формула для y'не является окончательной для y, поскольку в отличие от оси абсцисс ось ординат на экране имеет противоположную направленность. Для пересчета достаточно несложной формулы

Подставляя в нее выражения для y' и f, после очевидных алгебраических преобразований получим, что

            (3.2)

Таким образом, используя формулы (3.1) и (3.2), можно координаты любой точки пересчитать в координаты соответствующего ей пикселя на экране. Поскольку стоящее в правой части выражение вещественно, а координаты экрана являются целыми числами, не надо забывать добавлять в итоговые формулы функцию round().

Проблема 2. На чем рисовать?

Для создания графических изображений многие визуальные компоненты Delphi имеют специальное свойство Canvas (по-русски — холст, картина, канва, т.е. основа). Это объект, который содержит в себе все, что необходимо для рисования (система координат, цвета, кисть, перо, шрифт, режимы рисования и прочие графические атрибуты Windows). Холст есть, например, у компонентов Form, Label, Listbox, Combobox, Image, но его нет у MainMenu, Button, Edit, Panel, Bitbtn. Из этого формально следует, что нанести рисунок можно поверх любого из компонентов, входящих в первую группу, и принципиально нельзя на перечисленные во второй.

Но все ли компоненты одинаково хороши для рисования? Для проверки проведем несложный эксперимент. Создадим на форме Form1 три компонента: Image1, ListBox1 и Button1. В обработчик события OnButtonClick стандартным образом внесем следующую простую программу

with Form1.Canvas do

begin MoveTo(0,0); LineTo(50,50)

end;

with Image1.Canvas do

begin MoveTo(0,0); LineTo(50,50)

end;

with ListBox1.Canvas do

begin MoveTo(0,0); LineTo(50,50)

end;

Нетрудно догадаться, что эта программа должна нарисовать три наклонных линии: на самой форме и на холстах компонентов Image1 и ListBox1.

Запустим приложение и щелкнем по кнопке Button1: как и ожидалось, возникнут три линии. Теперь “первым попавшимся” окном закроем часть рисунка (обязательно отпустите кнопку мыши, иначе изменения на экране не зафиксируются!). Наконец, отодвиньте “верхнее” окно немного в сторону, и вы увидите примерно такую картину, как на рис. 3.2.

Рис. 3.2

На ней отчетливо видно, что части линий, которые были закрыты окном, на самой форме (вверху) и на компоненте ListBox1 (внизу) исчезли, тогда как компонент Image1 заботливо восстановил свое содержимое. Вывод очевиден: для целей рисования нам лучше всего подходит компонент типа Image.

Примечание. Строго говоря, некоторый механизм “самовосстановления” рисунка на холсте в Delphi предусмотрен. Для этого можно программу рисования поместить в обработчик события OnPaint (он есть не у всех компонентов, но у формы такое событие существует). В этом случае после перерисовки компонента Windows передаст управление вашему обработчику и тот восстановит рисунок на холсте. Для наших физических применений данный механизм абсолютно неприемлем, поскольку он потребует при каждой перерисовке окна пересчитывать все графики!

Итак, в качестве холста для рисования графиков мы выбираем компонент типа Image. Очень удобно свойству выравнивания Align установить значение alClient — тогда наш компонент будет всегда автоматически растягиваться на всю площадь окна.

.0Проблема 3. Как построить график?

Первый вывод, касающийся способа рисования графиков, для физических задач довольно очевиден: строить график рассчитываемой величины удобнее всего по точкам. В Delphi имеется для этого хорошо подходящий для этого механизм: объект Canvas содержит в себе свойство Pixels, представляющее собой массив, образующий рисунок пикселей. Поставить точку — значит присвоить элементу массива необходимое цветовое значение типа TColor, например:

Image1.Canvas.Pixels[x,y] := clBlack;

В приведенном операторе x и y — координаты точки экрана, а значение константы clBlack обозначает черный цвет (первые две буквы подчеркивают то обстоятельство, что это именно цвет — color).

Кодирование цветов в Delphi заслуживает того, чтобы о нем рассказать подробнее.

Стандартные 16 цветов, как мы уже видели на примере черного, имеют специальные имена, начинающиеся с префикса “cl”. Их названия приведены в таблице.

Небольшим темным пятном на фоне полной ясности в стандартных цветах служит тот факт, что в Windows их почему-то не 16, а 20. Причем, как написано в книге [9], “Когда Windows сбрасывает системную палитру, то он загружает стандартные цвета в первые 10 и последние 10 позиций. Каждое окно всегда может рассчитывать на эти 20 цветов независимо от того, какие цвета загружены в оставшуюся часть системной палитры”.

Разумеется, можно определить и свой собственный RGB-цвет, как показано ниже.

const clMyColor = TColor($FFFBF0);

И еще об одной особенности определения цветов в Delphi. Если посмотреть на установленный по умолчанию цвет формы, то он, как ни удивительно, не совпадет ни с одним из перечисленных выше стандартных цветов: в графе color вы найдете весьма необычную надпись clBtnFace (цвет лицевой стороны кнопок). Этот и множество других имеющихся в списке цветов (clActiveCaption, clInactiveCaption, clMenu, clWindow, clWindowFrame и др.) берутся из цветовых настроек Windows. Если не боитесь на время увидеть на экране своего дисплея сильно “испорченную” цветовую гамму, можете провести следующий эксперимент. Обычным образом (правой кнопкой щелкнуть по Рабочему столу и выбрать в меню Свойства) перейдите к настройкам свойств экрана. На вкладке Оформление щелкните по рисунку кнопки; в ответ на это Windows сообщит, что он готов к настройке “рельефных объектов”. Щелкните по выпадающему списку Цвет, и появится стандартная цветовая палитра из 20(!) цветов, причем по умолчанию выбран серый (именно такой цвет имеет левый нижний квадратик). Если щелкнуть по соседнему справа цвету, то после нажатия традиционного OK все кнопки, а с ними и множество элементов окон, окрасятся в изумительный голубоватый оттенок (и это еще один из самых спокойных цветов!).

Рис. 3.3

Прежде чем восстановить цветовую гамму, не забудьте открыть Delphi и убедиться в том, что там тоже поменялись цвета. Теперь попытаемся вернуть цвета в старую добрую цветовую схему. Не тут-то было! Установка старого цвета рельефных объектов вернет назад не все цвета! Остается в списке Схема выбрать значение Стандартная — только тогда буйство красок окончательно исчезнет.

Таким образом, если только вы не хотите, чтобы ваше приложение меняло окраску в соответствии с не всегда здоровыми цветовыми вкусами пользователей Windows, устанавливайте стандартные значения цветов, перечисленные в приведенной выше таблице.

Теперь, когда мы в теории поняли, как можно рисовать цветные графики, перейдем к их построению на практике. Для простоты выберем “классическую” функцию y = sinx и попытаемся нарисовать ее график так, чтобы он занял всю отведенную ему площадь окна.

Поместим на форму компонент Image1 и установим ему свойство Align = alClient, чтобы он занял всю рабочую площадь окна. Затем добавим еще три кнопки: Button1, Button2 и Button3, первая из которых будет инициировать построение графика, вторая — очистку окна, а третья — принудительно прекращать вычисления.

Займемся пока первой кнопкой. Добавим в ее обработчик события OnClick следующую программу:

procedure TForm1.Button1Click(Sender:TObject);

const da=0.001;

var x,y,w,h:integer; a,p:double;

begin w:=Image1.Width; h:=Image1.Height;

a:=0; p:=2*pi;

while a<p do

begin x:=round(w*a/p);

y:=round(h*(1-sin(a))/2);

Image1.Canvas.Pixels[x,y]:=clBlack;

a:=a+da;

end;

end;

В ней нетрудно найти уже знакомые нам фрагменты: окраску пикселя и расчет его координат по формулам (3.1) и (3.2). В самом деле, для функции sinx имеем a_min = 0, a = 2p; f_max = 1, а f = 2, откуда и получаются имеющиеся в программе выражения для x и y.

Пожалуй, остается объяснить роль и влияние константы da. Данное число влияет на то, сколько точек будет рассчитываться при построении графика: если задать большое значение, то точек будет мало и график получится прерывистый. Чем больше точек, тем лучше качество графика, но тем дольше он считается. Кроме того, при достаточно малом значении da увеличение количества точек уже не меняет вида графика. Указанный в тексте программы шаг близок к оптимальному: и считает быстро, и график вполне аккуратный.

Рис. 3.4

Заметим, что в примерах по построению графиков на экране дисплея в книгах часто описывается несколько иной алгоритм. Он заключается в том, что для каждого пикселя по горизонтали производится перевод значения в естественные единицы измерения, затем от полученного значения вычисляется функция, результат снова пересчитывается в пиксели и наносится на график. Такой “машинный” алгоритм менее удобен для рассматриваемого нами круга задач, чем описанный выше “математический” алгоритм, когда за основу берутся естественные значения аргумента и функции. Кроме того, как следует из теории, “машинный” алгоритм позволяет получить непрерывный график только для линий, составляющих с осью x угол не более 45°. Примененный нами способ свободен от указанного недостатка и строит более наглядный график, а также дает меньшую вычислительную погрешность.

И не забудьте провести с программой еще один эксперимент. Обязательно убедитесь в том, что если увеличить размер окна, то программа автоматически пересчитает масштаб и снова аккуратно “растянет” график на всю площадь окна.

Проблема 4. Как рисовать по ходу вычислений?

Несмотря на определенные успехи, достигнутые в деле рисования графиков, некоторая проблема все-таки осталась. Дело в том, что если задать, например, da = 0.00001, то даже на процессоре с тактовой частотой более двух гигагерц время счета станет значительным (а у нас нет причин заранее быть уверенными в том, что “долгие” расчеты в физической задаче выполнять не придется!). И в указанной ситуации поведение программы становится весьма неудобным: она долго-долго считает без всяких видимых изменений на экране и только затем выводит весь готовый график целиком. Нельзя ли сделать так, чтобы график рисовался по ходу вычислений? Конечно, можно, но сначала надо разобраться, почему поведение программы именно такое, как мы наблюдаем.

Для этого придется обратиться к теории. Известно (см., например, [10, 11], а также публикацию в прошлогодних номерах газеты [12]), что функционирование среды Windows построено на пересылке и обработке сообщений. Кстати, даже сама структура программы в Delphi говорит нам об этом: вместо единой программы в Паскале для MS DOS в Delphi мы имеем набор процедур, каждая из которых есть не что иное, как обработчик сообщения о том или ином событии.

Как свидетельствует опыт, по умолчанию исполнение программы происходит таким образом, что все сообщения обрабатываются по мере поступления строго последовательно. Это означает, что, пока не завершена полностью обработка одного события, следующее обрабатываться не будет. В этом и заключается объяснение поведения нашей программы рисования: вычисления “миллионов синусов” занимают заметное время (с точки зрения Delphi эти вычисления есть обработчик щелчка по кнопке Button1), и только после полного завершения вычислений система переходит к обработке следующего события, связанного с обновлением рисунка на компоненте Image1.

Казалось бы, дело безнадежно, поскольку изменить логику работы системы мы не сможем. Тем не менее выход из положения есть — создатели Delphi предусмотрели подобные потребности программистов. В объекте Application (приложение), который ассоциирован с нашей программой, имеется метод ProcessMessages, смысл которого состоит во временном прекращении работы “длинного” обработчика и передаче управления Windows для обработки “накопившихся” в очереди сообщений; после обработки очередного сообщения Windows возвращается к выполнению прерванного ранее обработчика. Следовательно, периодический вызов указанного метода решит сформулированную проблему: проделав часть вычислений, система нарисует готовую часть графика и затем процесс продолжится.

Оказывается, добавив в конец цикла вычисления while единственную строку

Application.ProcessMessages;

мы избавимся от проблемы.

Кстати, попутно появляется возможность решить и еще одну проблему — аварийное прерывание “затянувшихся” вычислений. Это проблема того же сорта: надо обеспечить обработку нажатия кнопки Стоп, пока не завершился счет. Как только в программе появился вызов метода ProcessMessages, возможность для прерывания счета уже создана. Программная реализация проста: описываем глобальную (т.е. доступную всем обработчикам) логическую переменную stop и перед началом цикла вычислений присваиваем ей значение false. Нажатие кнопки аварийного завершения Button3 установит эту переменную в true. Остается дополнить условие повторения цикла следующим образом:

while (a<p) and not stop do

— и вычисления будут прекращаться или по значению аргумента a, или по переменной stop.

Если вы по какой-либо причине затрудняетесь найти те места в программе, куда нужно вставить описанные в данном разделе дополнительные строки, обратитесь к полному тексту программы, приведенному в следующем разделе, посвященном ускорению процесса.

Обязательно протестируйте механизм аварийной остановки, предварительно задав большое значение переменой da (при малых da произвести тестирование будет трудно — см. следующую проблему).

Проблема 5. Как ускорить процесс?

Увы, еще не все наши проблемы позади. Оказывается, введенные в предыдущем разделе изменения хотя и обеспечили нужное поведение программы, но ее работа во много раз замедлилась! Более того, если шаг изменения аргумента da мал, то компьютер ведет себя так, как будто он “завис”: например, мы нажимаем кнопку закрытия нашего приложения, а оно не реагирует! Что же произошло?

Перед нами типичный случай, когда вера в неограниченное могущество компьютера оказывается необоснованной, а применение алгоритма решения задачи “в лоб” приводит к тому, что наш интеллектуальный помощник элементарно не справляется с объемом работ. Уместно подчеркнуть, что недалекие пользователи в подобных ситуациях немедленно бегут в магазин за новым, более мощным компьютером. Нам кажется, что читатели газеты не из их числа, а наградой за их интеллектуальную пытливость будет несложное усовершенствование программы, которое позволит вполне комфортно работать и, кстати, отложить поход за новым компьютером до более оправданного случая.

Итак, почему же все-таки наша программа после внесенного усовершенствования стала “тормозить” компьютер? Логично предположить, что это как-то связано с графикой, поскольку количество вычислений осталось без изменения. Если раньше машина рисовала всего один график (после завершения вычислений), то сейчас обновление рисунка происходит после каждого цикла. Как наносятся новые точки на рисунок? В многочисленных книгах по освоению Delphi о таких вещах обычно не пишут. Обдумав общую логику работы графики в Windows [10], можно высказать весьма правдоподобную гипотезу о том, что рисунок компонента Image на самом деле хранится в ОЗУ и при всяком обновлении копируется на экран целиком. В пользу этой гипотезы говорит и следующее соображение: если рисунок в памяти обновляется попиксельно, как это делается в нашей задаче, то едва ли проще “возиться” с поиском каждого из них в видеопамяти — лучше обновить нужные пиксели в ОЗУ и с помощью какой-нибудь оптимизированной аппаратной процедуры копирования перебросить туда весь блок данных.

Проверим, насколько справедлива наша гипотеза. Если копирование холста из ОЗУ в видеопамять происходит долго, то желательно уменьшить число копирований пусть даже ценой усложнения логики программы. По-видимому, оптимальным способом для этой процедуры будет являться следующий. При малом шаге по аргументу вычисленные значения часто попадают в одни и те же точки. Ясно, что повторное рисование точек картинки не портит, но время занимает. Попробуем на этом сэкономить. Итак, будем запоминать координаты последнего поставленного на экране пикселя и, если новая точка попадает в то же самое место, не будем вносить напрасные изменения в массив Image1.Canvas.Pixels, провоцируя тем самым абсолютно бесполезную его перерисовку. Для хранения координат предыдущего нарисованного пикселя в программу введем дополнительные переменные xold и yold. Их начальные значения стоит задать равными несуществующему значению (например, –1), чтобы гарантировать рисование самой первой точки. В дальнейшем после нанесения каждой новой точки необходимо обновлять значения этих переменных. Все предлагаемые изменения несложно найти в приводимом ниже листинге программы (в методе Button1Click).

var stop:boolean;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

const da=0.001;

var x,y,xold,yold,w,h:integer; a,p:double;

begin w:=Image1.Width; h:=Image1.Height;

xold:=-1; yold:=-1;

a:=0; p:=2*pi; stop:=false;

while (a<p) and not stop do

begin x:=round(w*a/p); y:=round(h*(1-sin(a))/2);

if (x<>xold) or (y<>yold) then

begin Image1.Canvas.Pixels[x,y]:=clBlack;

xold:=x; yold:=y

end;

a:=a+da;

Application.ProcessMessages

end;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin Image1.Canvas.FillRect(Rect(0,0,Image1.Width,Image1.Height));

end;

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

begin

stop:=true

end;

Введение данного несложного контроля приводит к неожиданно хорошему результату: нормальная скорость рисования обеспечивается при любых, даже очень малых шагах по аргументу da.

Интересно, что использованная нами идея является принципиально важной при проектировании визуальных компонентов. В частности, в книге [13] при объяснении принципов разработки методов записи для компонентов указано:

“Обратите внимание в приведенном выше методе на то, что данное свойство модифицируется только если новое значение отличается от текущего. Подобный тип обработки очень распространен в методах записи и помогает избежать ненужных присвоений и избыточных побочных эффектов, которые в противном случае привели бы к значительным потерям времени обработки”.

Таким образом, логический анализ проблемы позволил найти достаточно простое ее решение. Даже если гипотеза о хранении образа в ОЗУ все же не совсем верна, тем не менее рассуждения о сути процесса все равно привели нас к правильному результату.

Примечание. Впервые описанный эффект резкого замедления работы компьютера был замечен при отладке задачи про движение спутника. Оказалось, что время расчетов при указанной модернизации программы уменьшилось с 8,5 минут до нескольких секунд!

Проблема 6. Как очистить графики?

Это небольшая самостоятельная проблема, которая решается относительно просто. Объект Canvas имеет множество встроенных методов рисования (линий, эллипсов и т.п.). Один из них — рисование заполненного прямоугольника FillRect — хорошо подходит для наших целей. Единственной тонкостью применения этого метода является способ задания границ закрашиваемой области. В Delphi для подобных целей используется специальный тип данных TRect (от англ. rectangle — прямоугольник), который задает левую верхнюю и правую нижнюю вершины прямоугольника. Простейшим (но не единственным) способом получить структуру TRect служит специальная функция Rect, аргументы которой являются целочисленными координатами необходимых точек. В итоге окончательная строка, которую следует поместить в обработчик кнопки Button2, для полной очистки холста примет вид:

Image1.Canvas.FillRect(Rect(0,0,Image1.Width,

Image1.Height));

Проблема 7. Как изобразить итоговый график?

При построении всех предыдущих графиков мы довольствовались закраской отдельных пикселей на компоненте Image, поскольку точек на каждой линии (траектории) вычислялось заведомо достаточно для построения кривой любой сложности (в действительности нам, наоборот, приходилось принимать специальные меры, чтобы на график наносились не все точки, — см. проблему 5).

При построении итогового графика зависимости некоторой интегральной характеристики от параметра задачи ситуация качественно иная: точек на нем ровно столько, сколько произведено расчетов. Следовательно, количество точек невелико, и надеяться на то, что их всегда будет достаточно для построения “сплошного” графика, не приходится.

Итак, нам потребуется разработать еще один способ отображения графических зависимостей для случаев, когда число известных точек невелико. Для решения поставленной задачи в Delphi предусмотрен специальный демонстрационный компонент Chart, который отличается тем, что позволяет легко строить диаграммы и графики самых разнообразных видов. По своим функциональным возможностям данный компонент во многом напоминает мастер диаграмм MS Excel.

Для создания Chart необходимо найти его на странице Additional палитры компонентов:

Рис. 3.5

Далее стандартным образом поместим его на форму и проделаем необходимые простейшие настройки. Компонент имеет специальный редактор, вызываемый двойным щелчком мыши по его изображению. Вид окна редактора показан на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Первое, что обязательно нужно сделать, это создать серию данных для графика (по умолчанию система назовет ее Series1). Для осуществления названного действия щелкните по кнопке Add; возникнет новое диалоговое окно, в котором редактор “рекламирует” все свои возможности:

Рис. 3.7

Обязательно обратите внимание на следующую деталь. При появлении окна флажок 3D в нижней части окна выбран, так что картинка изображает трехмерные варианты графиков. Для физических целей плоских вполне достаточно, и, прежде чем снять с экрана приведенную в статье картинку, данный флажок был сброшен.

Конечно, при рисовании может быть использован любой из имеющихся типов, но мы воспользовались последним: он называется bubble (в переводе с английского — “пузырек”) и наносит на плоскость точки в виде кружков заданного радиуса и цвета.

Обратите внимание, что после обычного завершения диалога нажатием OK в окне редактора появится серия Series1. Прежде чем закончить с ней работу, установим несколько свойств, что позволит увеличить место, занимаемое графиком, путем отказа от всяческих подписей и пояснений. Делается это несложно. Щелкнем по закладке страницы Legend (“легенда”, или по смыслу лучше “обозначения”) и сделаем ее невидимой путем сброса флажка Visible (видимая) — см. рис. 3.8.

Рис. 3.8

Находившиеся справа подписи исчезнут, а площадь под график увеличится.

Аналогичным образом на странице Titles сделаем невидимым синий заголовок TChart (данная “эстетическая” коррекция может показаться читателям не самой лучшей, но мы намерены ограничиться подписью в заголовке формы).

Перейдем к написанию программы.

Договоримся, что данные для обобщающего графика мы будем брать из табл. 1, куда после расчета каждой траектории заносятся ее интегральные характеристики. Данная таблица расположена на форме form3 и называется StringGrid1. Ради универсальности введем константы Narg и Nfunc, которые будут задавать номера столбцов аргумента графика и функции соответственно.

Для извлечения необходимого значения из (строковой!) таблицы и преобразования его в число напишем следующую функцию.

function getNumber(k,y:integer):double;

var s:string; {аргумент/функция}

begin if k=0 then k:=Narg else k:=Nfunc; {содержимое ячейки}

s:=form3.StringGrid1.Cells[k,y];{замена десятич. '.' на ','}

k:=pos('.',s); if k<>0 then s[k]:=',';{результат - вещественное число}

getNumber:=strToFloat(s)

end;

Функция содержит два входных параметра; первый — (k) равен 0 при извлечении аргумента и 1, когда требуется получить из таблицы значение функции; второй параметр y есть просто номер необходимой строки. Функция выбирает необходимую константу с номером столбца, извлекает требуемое строковое значение, заменяет десятичную точку в изображении числа на запятую (русская версия разделения целой и дробной части) и, предварительно преобразовав строку в числовую форму, выдает полученное значение в качестве результата функции. Таким образом, все технические детали извлечения чисел из таблицы оказываются локализованными внутри рассмотренной функции.

Теперь опишем, как программировать работу с компонентом Chart.

Прежде всего необходимо “связать” созданную нами серию данных Series1 с компонентом Chart1:

series1.ParentChart:=Chart1;

Далее с помощью метода Clear очистим значения серии и, пока строки табл. 1 не пусты, будем дополнять точки в набор Series1 вызовом метода AddBubble. Последний имеет 5 аргументов, так что стоит их хотя бы кратко прокомментировать.

1. Значение аргумента для точки графика.

2. Значение функции для точки графика.

3. Радиус кружка, изображающего точку (обратите внимание: не в пикселях, а в масштабе графика; с этим еще придется повозиться!).

4. Подпись под каждой точкой; мы выбрали значение аргумента, преобразовав его в строковое представление стандартной функцией FloatToStr.

5. Цвет точки; мы выбрали красный.

В итоге получаем следующий рабочий цикл заполнения набора Series1.

n:=1;

while form3.StringGrid1.Cells[Nfunc,n]<>'' do {пока есть числа}

begin addBubble(getNumber(0,n),

getNumber(1,n),radius,

floatToStr(getNumber(0,n)),clRed);

n:=n+1 {к следующей строке таблицы 1}

end;

После занесения значений компонент автоматически выбирает масштаб и рисует все входящие в него точки.

Остается последняя проблема — выбор значения для переменной radius. Ее нельзя задать константой, поскольку “пузырек” масштабируется так же, как и график, т.е. его видимый размер оказывается зависящим от значений функции, по которым строится график. Это, конечно, неудобно и порой приводит к тому, что точки просто исчезают — таким маленьким оказывается их радиус.

Универсальное решение проблемы, по-видимому, невозможно. Наиболее разумно связать размер точек с областью изменения функции (она равна f_max – f_min) и взять определенную часть от нее. Экспериментальная проверка, однако, показала, что реализованный по такой методике автоматический выбор не всегда рекомендует удачный размер. Поэтому мы добавили пользователям возможность изменять некоторый множитель, который влияет на размер точек. Мы не будем здесь приводить программу поиска максимума и минимума в столбце таблицы (ее главная сложность — использование для извлечения значений функции getNumber(1,n); остальное очевидно любому, кто изучал программирование). Покажем только заключительные формулы.

{автоматический выбор радиуса рисования точек}

radius:=max-min; if radius=0 then radius:=max;

{ручная коррекция - множитель берется из списка}

radius:=(comboBox1.ItemIndex+1)*0.002*radius;

С учетом полученной коррекции почти всегда удается получить график удовлетворительного вида. Единственным замеченным нами случаем “неразумного” поведения компонента является построение графика функции, которая близка к константе. В этом случае картина выглядит, например, так, как на рис. 3.9 (проект, посвященный модели атома по Томпсону).

Рис. 3.9

К сожалению, ситуация принципиально не улучшаема, поскольку таков алгоритм выбора масштаба компонентом Chart: при расстановке точек он отображает пространство между “верхом самой верхней точки” и “низом самой нижней”, а они все на одной горизонтали. В итоге изменение размера точек приводит лишь к пересчету масштаба по оси ординат, а неудачный вид графика, когда всю его площадь занимают точки, сохраняется.

Полный вид процедуры рисования графика с помощью компонента Chart приведен в распечатке модуля 5 (см. далее).

Работа с таблицами в среде Delphi

В Delphi предусмотрены специализированные компоненты для работы не только с графиками, но и с таблицами. Их использование существенно облегчает представление данных в табличной форме. Для целей моделирования физических задач требуется главным образом занесение данных в таблицу (самое сложное действие в нашем практикуме — последующее извлечение данных из таблицы для построения итогового графика, о чем шла речь в предыдущем разделе), так что предусмотренных в компонентах стандартных возможностей более чем достаточно.

На странице Additional палитры компонентов Delphi имеются две “заготовки” для работы с таблицами — StringGrid и DrawGrid. Во второй компонент заложены некоторые дополнительные возможности (например, в его ячейках предусмотрен объект Canvas, а значит, там можно рисовать!), но они явно выходят за рамки наших потребностей, поэтому мы ограничимся более простой, чисто строковой “сеткой” StringGrid.

Рис. 3.10

Будучи помещенным на форму, компонент StringGrid имеет вид весьма представительной таблицы:

Рис. 3.11

На ней не только предусмотрено место для данных с возможностью прокрутки, но и даже выделенные серые клеточки для оформления подписей строк и колонок (данные столбцы и колонки в Delphi называются fixed — фиксированными, и их число легко регулируется заданием значений свойств FixedCols и FixedRows).

Для организации доступа к таблице в ней предусмотрено специальное свойство Cells, представляющее собой обычный (строковый!) двумерный массив. Первый индекс обозначает номер столбца (координата x), а второй — строки (координата y); нумерация начинается с нуля, фиксированные ячейки учитываются. Например, запись Cells[1,2] адресуется к ячейке во втором столбце и третьей строке (на рис. 3.11 она находится непосредственно под выделенной темным цветом клеткой).

Приведем пример простой программы заполнения таблицы. Как и для демонстрации графических возможностей, обратимся к простой функции sin x и “затабулируем” ее на отрезке, равном периоду. Договоримся для простоты разбить отрезок на 10 равных частей.

Решение сформулированной задачи реализуется следующим несложным образом. На форму помещается компонент StringGrid1, затем двойным щелчком по свободному месту формы создается обработчик события OnFormCreate. Далее в него вписывается следующая программа.

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

const n=10;

var x,y,h:double; i:integer;

begin with StringGrid1 do

begin ColCount:=2;

Cells[0,0]:=' X';

Cells[1,0]:=' Y';

end;

h:=2*pi/n;

for i:=0 to n do

begin x:=i*h; y:=sin(x);

with StringGrid1 do begin

if i+1=StringGrid1.RowCount

then{добавить строку}

RowCount:=RowCount+1;

Cells[0,i+1]:=FloatToStrF(x,ffFixed,5,4);

Cells[1,i+1]:=FloatToStrF(y,ffFixed,5,4);

end

end

end;

Программа достаточно проста. Сначала формируется таблица из двух столбцов (по умолчанию Delphi устанавливает больше) и ее “шапка”. Затем вычисляются значения функции sin x для 11 точек (обратите внимание, как организован вычислительный процесс через индексную переменную i!) и заносятся в соответствующие клетки таблицы. Важно подчеркнуть, что видимых на экране ячеек в какой-то момент перестанет хватать, тогда предусмотренный в теле цикла условный оператор аккуратно будет добавлять по одной строке по мере надобности.

Особо хочется сказать о функции FloatToStrF, которая позволяет не только выполнить требуемое для таблицы преобразование числа в строку, но и установить при этом его формат. Мы выбрали представление с фиксированным размещением запятой и отобразили после нее 4 знака.

В результате на экране появилась вполне симпатичная табличка (рис. 3.12).

Рис. 3.12

Таким образом, работа с таблицей оказывается в среде Delphi простой и удобной. Наличие хорошо проработанного стандартного компонента позволяет не особенно задумываться над табличным представлением результатов и полностью сосредоточить свое внимание на организации вычислений.

Примечание. В программах, разработанных в Delphi, при вводе дробных чисел в поля компонентов целую и дробную части следует разделять символом, который определяется национальными настройками ОС Windows, а именно: в русской версии необходимо использовать запятую, а в английской — точку. Для языка программирования подобное решение проблемы кажется несколько непоследовательным (согласно их синтаксису, в вещественных числах всегда однозначно используется точка); тем не менее, если вспомнить электронные таблицы Excel, то там тоже имеет место аналогичный “двойственный” подход.

Общая структура практикума (пакета программ)

Обсудим теперь проблемы структуры нашего программного комплекса для моделирования нескольких физических задач; для краткости будем называть всю совокупность программ практикумом, а каждую входящую в него задачу проектом (последний термин напрямую заимствован из Delphi).

Будем считать, что моделирование типичной школьной физической задачи в среде Delphi протекает следующим образом. В результате предварительного обсуждения уже выработана математическая модель, т.е. выписаны все необходимые расчетные формулы и сформулирован алгоритм вычислений. Для разных моделей конкретный ход вычислений будет различным, так что данный блок придется программировать индивидуально. Зато, когда он будет готов, процесс моделирования будет происходить достаточно похожим образом: по указанным формулам будут производиться вычисления (одиночные с некоторым фиксированным значением параметра задачи или серия вычислений, когда параметр автоматически перебирается), а их результаты будут представляться в виде таблиц и графиков. Последние операции по своей сути слабо зависят от характера представляемой информации, так что имеет смысл реализовать их универсальным образом.

Опыт разработки материалов практикума показал, что желательно предусмотреть таблицы и графики двух типов — для представления текущих результатов по каждому отдельному расчету и обобщающих данных по результатам совокупности расчетов. Например, в задаче о резонансе каждый расчет представляет собой проведение виртуального эксперимента по наблюдению картины воздействия на колебательную систему с фиксированной частотой, а обобщающим графиком, построенным по результатам серии расчетов с различными частотами, будет резонансная кривая зависимости от частоты максимального отклонения системы от положения равновесия.

Таким образом, типичная программа нашего практикума будет содержать следующие основные модули:

· основной вычислительный модуль;

· модуль рисования графиков для каждого расчета;

· модуль рисования обобщающего графика;

· модуль построения таблицы значений по каждому отдельному расчету;

· модуль построения обобщающей таблицы.

Важно подчеркнуть, что четыре последних пункта списка являются универсальными и не зависят от конкретной задачи. Общая структура практикума представлена на рис. 3.13.

Выбранная структура потребует определенного структурирования файлов проекта. Удобно каждый проект помещать в отдельную папку, а для общей части проекта создадим папку common.

Рис. 3.14

На приведенном рисунке подготовлены папки для двух проектов (“Спутник” и “Радиоактивный распад”), обсуждавшаяся выше общая папка, а также папка для рисунков для управляющих кнопок и иконок (значков) проектов. Приведенная структура папок должна учитываться при сохранении модулей проектов.

Примечание. Создание описанной выше структуры пакета может на первый взгляд показаться излишним. Существует простой альтернативный вариант — работать с каждым проектом отдельно, копируя во все папки общие файлы. Недостаток такого подхода состоит не столько в том, что напрасно продублированные общие файлы занимают место на диске; гораздо важнее, что неудобно вносить исправления в организованные таким образом проекты. В самом деле, представьте, что вы сделали незначительное исправление в модуле построения графиков. Тогда вам придется “растиражировать” исправленный модуль во все папки, загрузить каждый проект и его перекомпилировать. В то же время, при использовании описанной нами методики достаточно после указанного исправления модуля выбрать в меню пункт перекомпиляции всех проектов — и Delphi автоматически перекомпилирует сразу все проекты.

Итак, мы подготовили необходимую структуру каталогов. Теперь остается создать связанные между собой проекты, используя предусмотренный для этой цели в Delphi специальный механизм project group (группы проектов). Учитывая, что данная возможность среды в учебной литературе обычно не раскрывается, расскажем подробнее, как с ним работать.

Рассмотрение будем вести на слегка упрощенном примере: объединим всего два проекта. Запустим Delphi, и система обычным образом создаст одиночный проект, правда, предусмотрительно заготовив для него файл с проектной группой (иными словами, если не предпринимать специальных действий, то проектная группа получит стандартное имя ProjectGroup1 и будет состоять из единственного проекта; из сказанного понятно, почему на ней в простейших упражнениях не фиксируют внимания). Сначала сохраним проект в соответствии с разработанной нами структурой. Для этого выберем в меню пункт Save project as… и очень внимательно поработаем с диалогами сохранения файлов.

Первый модуль, который является главным в данном проекте (для определенности “Спутник”), сохраним в индивидуальную папку:

Рис. 3.15

Наиболее важные места диалога, на которые надо обязательно обратить внимание, на рис. 3.15 выделены. В частности, видно, что первый модуль сохраняется в папку sputnik. Подчеркнем, что для простоты имя модуля unit1, данное Delphi, можно оставить без изменения.

Модуль unit2 (а также все последующие) сохраним в другую папку — common. Еще раз напомним читателям, что данная папка предусмотрена для хранения общей части проектов.

Рис. 3.16

Наконец, сохраним файл проекта, не забыв при этом дать ему нужное нам название sputnik (это стоит сделать, поскольку имя проекта присваивается скомпилированному exe-файлу).

Рис. 3.17

Не забудьте, что файл проекта должен находиться в индивидуальной папке sputnik, а не в common!

Теперь, когда наш проект надежно сохранен, позаботимся о проектной группе. Вызовем окно управления проектом (Project Manager), воспользовавшись первым пунктом в меню view. Оно будет выглядеть примерно так, как показано на рис. 3.18 (обязательно обратите внимание на правильность каталогов в правой части окна!).

Рис. 3.18

Остается переименовать стандартную ProjectGroup1, например, в praktikum, щелкнув по ней правой кнопкой и выбрав в появившемся меню Save Project Group As…

Рис. 3.19

Подчеркнем, что данный файл, который объединяет все проекты, целесообразно разместить на самом верхнем уровне иерархии папок нашего практикума.

Теперь займемся вторым проектом. Снова запустим Delphi и подготовим второй проект. Его главный (уникальный для проекта) модуль unit1 сохраним описанным выше способом в папку radioactiv. А вот с остальными модулями придется действовать по-другому, так как они уже сохранены в общей части. Их надо подключить к проекту, воспользовавшись первым пунктом меню Project, который называется Add to Project (добавить к проекту).

Рис. 3.20

Формирование очередного проекта завершено. Остается присоединить его к нашему практикуму. Для этого щелкнем по значку файла praktikum.bpg, который был создан ранее, и в меню Project или окне Project Manager выберем действие Add Existing Project … (добавить существующий проект).

Рис. 3.21

В итоге в нашу группу войдет уже два проекта, а Project Manager примет вид:

Рис. 3.22

Аналогичным способом можно собрать в единое целое и все остальные проекты моделирования физических задач. В частности, окончательный состав проекта выглядел на нашем компьютере весьма впечатляюще (два первых проекта для наглядности “раскрыты”) (см. рис. 3.23).

Рис. 3.23

Примечание. Delphi допускает создание нового проекта, “не выходя” из проектной группы, т.е. проект radioactiv можно было бы создавать, находясь непосредственно в praktikum. Эта процедура немного проще, чем та, которая была описана выше, но в этом случае нумерация форм нового проекта продолжает имеющуюся (например, первая форма получает имя Form6).

Еще раз подчеркнем, что описанная нами процедура создания единого проекта есть не стремление “оригинальничать”, а вполне оправданный с точки зрения практического удобства подход. Именно в таком виде публикуемый пакет оказывается максимально открытым для расширения, позволяя творческим учителям легко дополнить его новыми физическими моделями.

Устройство типичного проекта

Теперь, когда стали понятны общие идеи построения программного обеспечения практикума, рассмотрим отдельно взятый проект моделирования одной из физических задач. В качестве такового выберем проект “Спутник”, включающий в себя все пять перечисленных в предыдущем разделе модулей. Большинство проектов практикума устроены совершенно аналогично, но есть и исключения: проект “Радиоактивный распад” в силу простоты своей математической постановки “обходится” всего тремя модулями.

“Спутник”, как и любое Windows-приложение, будет состоять из окон. Для наших целей естественным образом напрашивается создание пяти окон:

· главного с основными органами управления процессом численного моделирования (с ним ассоциируется программа вычислений для конкретной модели),

· двух окон построения графиков: для каждого расчета и итогового

· и двух окон с таблицами наиболее важных физических характеристик: в первое помещаются интегральные характеристики процесса в целом, а во второе — промежуточные числовые результаты расчетов по каждому из графиков.

Возможный вид реализации виртуальной лабораторной среды приведен на рис. 3.24.

Рассмотрим теперь подробнее программы на Паскале, ассоциированные с каждым из окон приложения.

Рис. 3.24

Модуль 1. Main

Начнем с главного окна, обеспечивающего основной пользовательский интерфейс, а также определяющего ход вычислений для модели “Спутник”.

Если пропустить стандартную “шапку” описаний, которую Delphi генерирует автоматически, программа открывается блоком параметров, приспосабливающим универсальные общие модули к конкретной исследуемой модели. Поскольку эти параметры предназначены для остальных модулей, данное описание размещено в интерфейсной части главного модуля.

{Блок параметров}

const Nparam = 5; {число параметров в таблице}

          tabTitles: array [0..4] of string[2] = ('V0','e','T','a','k3');

          tab2Tit='V0 \ t=';

          NZ1=6; NZ2=3; {десятичные знаки в таблице}

          neopred=-1000;{значение не определено и не отобразится в таблице}

          myScreenX=520; myScreenY=(3*myScreenX) div 4; {размеры графич. поля}

          Narg=0; Nfunc=2; {номера столбцов, по которым строится итоговый график}

В открывающейся далее реализационной части основную часть занимает программа вычислений, имеющая для проекта “Спутник” следующий вид.

var x,y,Vy,Vx,t,tp,a,v0,e,k3,dt:double; {физические величины}

          mnogo,myStop:boolean; {для регулир. количества графиков и останова}

{ускорение}

function ax(x,y,t:real):double;

begin ax:=-x/(sqrt(x*x+y*y)*(x*x+y*y));end;

function ay(x,y,t:real):double;

begin ay:=-y/(sqrt(x*x+y*y)*(x*x+y*y));end;

{начальные условия}

procedure nachsost(Vnach:double);

begin t:=0;x:=1;y:=0;Vx:=0;V0:=Vnach;Vy:=V0 end;

{один шаг расчета и вызов визуализации}

procedure trace;

begin vx:=vx+ax(x,y,t)*dt;

          x:=x+vx*dt;

          vy:=vy+ay(x,y,t)*dt;

          y:=y+vy*dt;

          grPutPixel(x,y);

end;

{интегральные параметры траектории}

procedure integr;

begin param[1]:=e; param[2]:=tp; param[3]:=a; param[4]:=k3;

          tabLine; {сформировать строку в таблице}

end;

procedure buttons(b:boolean);

begin {активация кнопок "Счет" и "Стоп" ("в противофазе")}

with Form1 do

begin BitBtn3.Enabled:=b; {"Стоп"}

          Button1.Enabled:=not b; {"Счет" - 1 график}

          Button2.Enabled:=not b; {"Счет" - много графиков}

end;

end;

procedure graphic1(mnogo:boolean);

var v1,v2,v3,vh,s,Xmin,Ymax,yold,xold,Tprint,tpr:double;

          i,n:integer;

begin if mnogo then {много графиков}

          begin v2:=StrToFloat(Form1.Edit2.Text); {начало}

          v3:=StrToFloat(Form1.Edit3.Text); {конец}

          n:=Form1.ComboBox1.ItemIndex+2;{число траект.}

          vh:=(v3-v2)/(n-1);{шаг} v0:=v2;{нач. скорость}

          end else {1 график}

          begin v1:=StrToFloat(Form1.Edit1.Text);

                    v0:=v1;{нач. скорость}

                    n:=1;{1 траект.} vh:=0{шаг}

          end;

          Xmin:=StrToFloat(Form1.Edit4.Text);{левая граница графиков}

          Ymax:=StrToFloat(Form1.Edit7.Text);{верхняя граница графиков}

          dt:=StrToFloat(Form1.Edit8.Text); {шаг по времени}

          Tprint:=StrToFloat(form4.edit2.Text);

          myStop:=false; buttons(true); {активация кнопки "Стоп"}

          i:=1; {номер траектории}

          repeat {n траекторий}

                    if v0<>0 then {V0=0 - не считает}

                    begin ClearLastPoint; {сбросить коорд. последней точки}

                    nachsost(v0);{начальные условия} e:=0;

                    {T, a и K3 пока не определены}

                    tp:=neopred; a:=neopred; k3:=neopred;

                    tpr:=Tprint; s:=0; param[0]:=V0;

                    repeat {расчет траектории}

                              xold:=x;yold:=y;{запомнить коорд. пред. точки}

                              t:=t+dt; trace; {шаг и визуализация}

                              s:=s+(x*vy-y*vx); {площадь сектора}

                              if (t>=tpr) then

                              begin s:=0.5*s*dt; tpr:=tpr+Tprint;

                                        tab2AddValue(s); s:=0

                              end;

                              if (xold>0)and(x<=0) then e:=abs(y-1);

                              if (yold>=0)and(y<0)then {определить T, a и K3}

                              begin tp:=2*t;a:=(1-x)/2;

                                        k3:=tp*tp/(a*a*a);

                              end;

                              {пауза для рисования}

                              Application.ProcessMessages;

                    until (((yold<0)and(y>0)){закончен оборот} or

                              (((x<Xmin)or(y>Ymax))and(e>1)))

                              {выход за пределы поля графика}

                              or myStop; {нажата кнопка "Стоп"}

                              integr; {интегральные параметры траектории}

                              tab2NextLine;

                    end; {if v0<>0}

                    v0:=v0+vh; i:=i+1; {к следующей траектории}

          until (i>n) or myStop; {выход когда все траект. или по кнопке}

          buttons(false); {вернуть кнопки "Счет" и "Стоп" в исходное сост.}

end;

Ядром вычислительной части программы является процедура Graphic1. При значении параметра mnogo=false она рисует один график, а в противоположном случае — много, считывая начальное и конечное значения с соответствующих полей редактирования главного окна, а количество траекторий — из выпадающего списка.

Аналогичным образом, с использованием стандартной функции Delphi под названием StrToFloat (строку в число с плавающей запятой), считывается шаг по времени.

Далее следуют вычисления, организованные в виде двух вложенных циклов: внешний обеспечивает вычисление n траекторий (для одиночного расчета полагается n = 1), а внутренний — движение по каждой из траекторий с течением времени. Рабочие формулы и некоторые физические идеи, на базе которых построены вычисления, будут приведены позднее при обсуждении соответствующей модели. Здесь упомянем лишь несколько общих, не связанных с конкретной постановкой, деталей.

Специальная процедура buttons служит для активизации кнопки остановки и отключения кнопок запуска при старте вычислений и изменении их состояния на противоположное после их завершения. При этом окончание вычислений данной траектории может происходить по целому ряду причин: совершен полный оборот и траектория замкнулась; разомкнутая траектория вышла за пределы графика или была нажата кнопка “Стоп” (в последнем случае логическая переменная myStop установлена в true).

В программе предусмотрено специальное “неопределенное” значение, которое позволяет оставлять пустые клетки в таблице, если данный параметр лишен физического смысла. Например, траектории спутника могут быть замкнутыми и разомкнутыми; в последнем случае параметр “период обращения” как раз и является неопределенным.

Взаимодействие главного модуля с графическими и табличными производится через интерфейсные процедуры последних. Например, во внутреннем цикле вызывается процедура tab2AddValue, а после него tab2NextLine, что обеспечивает заполнение табл. 2 с промежуточными результатами расчетов. Внутри процедуры integr (сохранение интегральных параметров), также вызываемой после окончания внутреннего цикла, есть обращение к другому табличному модулю — tabLine (обратите внимание на префиксы — начальные буквы — имен). Для передачи интегральных параметров в табл. 1 предусмотрен специальный интерфейсный массив param.

Рисование отдельных точек графика инициируется из процедуры trace, которая, в свою очередь, вызывает стандартную процедуру графического модуля grPutPixel. Что касается построения итогового графика, то этот модуль относительно автономен и запускается нажатием на кнопку, находящуюся на его собственной форме; данные при этом берутся из столбцов табл. 1, номера которых заданы константами Narg и Nfunc.

Работа перечисленных выше графических и табличных процедур, а также их устройство заслуживают отдельного обсуждения, которое будет приведено позднее.

Кроме описанного выше значительного фрагмента, реализующего вычисления траекторий спутника, в главном модуле имеется также несколько важных вспомогательных процедур, обеспечивающих управление проектом. В частности, приведенный ниже фрагмент демонстрирует запуск расчетов (одиночного или для нескольких траекторий) и их прерывание по желанию пользователя при помощи кнопок Счет-1, Счет-М и Стоп.

procedure ShowWin;

begin form3.show; {показать окно с таблицей 1}

          form2.show; {показать окно с графиками}

          grSetSize(myScreenX,myScreenY); {установить размеры граф. поля}

          form4.show; {показать окно с таблицей 2}

          form5.show; {показать окно с итоговым графиком}

          Form1.SetFocus; {вернуть фокус на главное окно}

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin ShowWin; {показать окна}

          mnogo:=false; graphic1(mnogo); {рисовать 1 график}

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin ShowWin; {показать окна}

          mnogo:=true; graphic1(mnogo); {рисовать много графиков}

end;

procedure TForm1.BitBtn3Click(Sender: TObject);

          {обеспечить досрочный выход из цикла расчетов}

begin myStop:=true

end;

К ним добавляются короткие обработчики кнопок очистки таблиц и графиков, а также программа поддержки выпадающего списка установки цвета графиков, приведенные ниже.

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin tabClearVal; {очистка значений таблицы 1}

          tab2ClearVal

end;

procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);

begin {очистка графиков}

with form2.Image1 do Canvas.FillRect(Rect(0,0,width,height));

end;

procedure TForm1.grColorChange(Sender: TObject);

begin {выбор цвета графиков}

case grColor.ItemIndex of

          0:grCurColor:=clBlack;

          1:grCurColor:=clMaroon;

          2:grCurColor:=clGreen;

          3:grCurColor:=clOlive;

          4:grCurColor:=clNavy;

          5:grCurColor:=clPurple;

          6:grCurColor:=clTeal;

          7:grCurColor:=clGray;

          8:grCurColor:=clSilver;

          9:grCurColor:=clRed;

          10:grCurColor:=clLime;

          11:grCurColor:=clYellow;

          12:grCurColor:=clBlue;

          13:grCurColor:=clFuchsia;

          14:grCurColor:=clAqua;

          15:grCurColor:=clWhite;

end;{case}

Shape1.Brush.Color:=grCurColor;

end;

Наконец, последняя процедура инициализирует компоненты формы при старте программы: производится автоматическое центрирование формы в зависимости от размеров экрана, устанавливается черный цвет рисования графиков и число графиков, равное двум. Разумеется, данные значения в дальнейшем пользователь волен изменить по своему усмотрению.

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

with Form1 do {центровка главной формы}

          begin top:=0; left:=(screen.Width-width) div 2;

          end;

grColor.ItemIndex:=0; Shape1.Brush.Color:=clBlack; {выбор цвета}

combobox1.ItemIndex:=0; {число графиков}

end;

Модуль 2. Graph

Модуль предназначен для рисования графиков каждого из расчетов. В его состав входят следующие процедуры, важнейшей из которых, без сомнения, является grPutPixel.